実数の虚数乗の大きさは常に1である
定理
$$ \left| r^{i \theta} \right| = 1 $$ $0$でない実数$r, \theta$に対して、$r^{\theta}$の虚数乗の大きさは$1$である。
説明
$\left| e^{i \theta} \right| = 1$はよく知られているが、底が特に$e$でなくてもどんな実数でも構わないということは思い浮かべにくい。考えてみれば当然成り立つはずだが、このような形ではあまり使う機会がないためであり、想像以上に多くの定理で補助定理として使われる。
証明
$\theta = 0$ならば$r^0=1$なので、当然$\left| r^{i \theta} \right| = \left| r^{i \cdot 0} \right| = 1$が成り立つ。
$\theta \ne 0$ならば $$ \left| r^{i \theta} \right| = \left| e^{i \theta \ln r} \right| = \left| e^{i \theta (\text{Log} |r| + i \arg r )} \right| $$ $\arg r = 0$なので $$ \left| e^{i \theta (\text{Log}|r| + i \arg |r| )} \right| = \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| $$ $ \theta^{\prime} := \theta \text{Log}|r|$もまた実数であり、すべての実数$\theta '$に対して$\left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1$なので $$ \left| e^{i \theta \text{Log}|r| } \right| = \left| e^{i \theta^{\prime}} \right| = 1 $$
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