コーシー・リーマン方程式
定理1
関数$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が$\mathscr{R}$で解析的であるとする。もし実関数$u,v$に対して $$ f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) $$ であれば、$u,v$は$x,y$に関する一階偏導関数が存在し、$\mathscr{R}$上のすべての点で以下の連立微分方程式を満たす。 $$ \begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases} $$
要約
コーシー・リーマン方程式は以下のように要約される。
$$ \begin{align*} f '(z) =& u_x + i v_x \\ =& v_y - i u_y \\ =& u_x -i u_y \\ =& v_y + i v_x \end{align*} $$
極座標形1
$f \left( r e^{i \theta} \right) = u (r,\theta) + i v (r, \theta)$ならば $$ \begin{cases} u_{r} (r, \theta) = {{ 1 } \over { r }} v_{\theta} (r,\theta) \\ v_{r} (r,\theta) = - {{ 1 } \over { r }} u_{\theta} (r,\theta) \end{cases} $$
説明
馴染みのない複素数上での微分を格段に扱いやすくしてくれる定理である。実数上での微分公式と複素数上の微分公式が似ていることを示すのに極めて不可欠である。
一般に逆は成り立たないことに注意しよう。つまり、コーシー・リーマン方程式を満たしても$f$が微分可能でないことがある。逆が成り立つ条件は偏導関数の連続性と関係して別に存在する。
証明
関数$f$は$\mathscr{R}$上のすべての点で微分可能なので、$h \to 0$の経路に関係なく$f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over {h}}$が一意に存在する。
$h=\alpha + i \beta$とおこう。ここで$\beta=0$ならば$h$は実軸上を動き、$\alpha=0$ならば$h$は虚軸上を動くだろう。まず実軸から見てみると、 $$ \begin{align*} f '(z) =& \lim_{\alpha \to 0} {{ ( u(x+\alpha,y) - u(x,y) ) + i ( v(x+\alpha,y) - v(x,y) ) } \over {\alpha}} \\ =& u_{x} (x,y) + i v_{x} (x,y) \end{align*} $$ そして虚軸を見てみると、 $$ \begin{align*} f '(z) =& \lim_{\beta \to 0} {{ ( u(x,y+\beta) - u(x,y) ) + i ( v(x,y+\beta) - v(x,y) ) } \over {i \beta}} \\ =& { {u_{y} (x,y) + i v_{y} (x,y)} \over i } \\ =& v_{y} (x,y) - i u_{y} (x,y) \end{align*} $$ 極限を求める際に分母に$i \beta$があるためにこのような結果が導かれたことに注目しよう。
条件で$f ' (z)$は$h \to 0$の経路に関係なく一意であるとしたので、実部と虚部を比較すると$u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) $であり、$-u_{y} (x,y) = v_{x} (x,y)$でなければならない。
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一方