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複素解析におけるリウヴィルの定理の証明

定理 ¹

関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が全解析関数であり、すべての$z \in \mathbb{C}$に対して$|f(z)| \le M$を満たす正数$M$が存在するならば、$f$は定数関数である。

説明

$f$が全解析関数であるとは、複素平面全体で解析的であるという意味である。対偶命題で言うならば、定数関数でなければその絶対値が有界^boundedにならないという意味である。例として$\sin$は定義域が実数集合のときには自明に$-1$と$1$に有界だが、複素解析では $$ | \sin i | = | i \sinh 1 | = \sinh 1 > 1 $$ であるため、有界でない場合もあることがわかる。

証明

$\mathscr{C}$を半径が$r$で中心が$\alpha$の円$ | z - \alpha | = r$と考えよう。$f$は全解析関数であるため、すべての点$z=\alpha$における微分係数$f ' (\alpha)$を考えることができる。

コーシーの積分公式: $$f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

微分について一般化したコーシーの積分公式で$n=1$とすると $$ |f ' (\alpha)| = {{1} \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z- \alpha)^{2} }} dz \right| $$

ML補助定理: $|f(z)| \le M$を満たす正数$M$と$\mathscr{C}$の長さ$L$に対して $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

$|f(z)| \le M$であるため$\displaystyle \left| { {f(z)} \over { (z - \alpha)^2 } } \right| \le { {M} \over {r^2} }$であり、円$ | z - \alpha | = r $の周が$2 \pi r$であるため、ML補助定理を用いると $$ |f ' (\alpha)| = {{1} \over {2 \pi}} \left| \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z- \alpha)^{2} }} dz \right| \le {{1} \over {2 \pi}} \left( { {M} \over {r^2} } \right) 2 \pi r = { {M} \over {r} } $$ 上の不等式は任意の$r>0$に対してすべて成り立つため、$|f ' (\alpha)| = 0$すなわち$f ' (\alpha) = 0$である。すべての点$z=\alpha$で$f ' (\alpha) = 0$であるため、$f$は定数関数である。

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関連リンク

• 動力学におけるリウヴィルの定理