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複素解析におけるコーシーの定理の証明

定理¹

単純閉経路$\mathscr{C}$とその内部で$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が解析的であり、$f '$が連続だとしよう。すると $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

証明

$a \le t \le b$に対して $$ z(t) = x(t) + i y(t) \\ f(z) = u(x,y) + i v(x,y) $$ とすると、$\displaystyle {{dz} \over {dt}} = x ' + i y '$なので $$ \begin{align*} f(z)dz =& f(z) ( x ' + i y ' ) dt \\ =& (u + i v ) ( x ' + i y ' ) dt \\ =& (u x ' - v y ' ) + i (v x ' + u y ' ) dt \end{align*} $$ $\displaystyle x ' = {{dx} \over {dt}}$であり$\displaystyle y ' = {{dy} \over {dt}}$なので $$ \begin{align*} \int_{\mathscr{C}} f(z) dz =& \int_{a}^{b} (u x ' - v y ' ) dt + i \int_{a}^{b} (v x ' + u y ' ) dt \\ =& \int_{\mathscr{C}} (u dx - v dy ) + i \int_{\mathscr{C}} (v dx + u dy) \end{align*} $$ ここで導関数が連続だという条件が使われる。

グリーンの定理：$P,Q$が連続であり、その導関数も連続ならば $$\int_{\mathscr{C}} (Pdx + Qdy) = \iint_{S} (Q_{x} - P_{y}) dx dy$$

グリーンの定理により $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = - \iint_{S} (v_x + u_y) dxdy + i \iint_{S} (u_x - v_y) dxdy $$ 一方、$u,v$はコーシー・リーマン方程式を満たす解なので、$u_y = -v_x$であり$u_x = v_y$だ。したがって $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

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説明

言ってみれば、特定の条件を満たしたとき、そもそも定積分を計算する必要がないということだ。「解析学の父」と呼ばれるコーシーだが、彼の名前だけが単独で付いているだけあって、非常に、極めて重要な定理だ。見ての通り、関数$f$の条件を満たすことはさほど難しくないので、多くの場面で使うことができる。

実用的であるだけでなく、非常にシンプルでもあるので、数学的な美しさまで感じることができる。

微分子と積分子を扱う際、厳密ではないが直感的に理解できるようにいい加減な解析学を用いた。結果的には同じではあるが、厳然として間違った過程なので注意しよう。

もう一つ有用な定理を証明なしで紹介する。

一般化

コーシー・グルサの定理^{the Cauchy-Goursat theorem}

単連結領域$\mathscr{R}$で$f$が解析的ならば、$\mathscr{R}$内部の単純閉経路$\mathscr{C}$に対して $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

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フランスの数学者グルサは、$f$の導関数に関する条件を取り除くというセンスで一般化を成し遂げた。ファクトとしては明らかにコーシーの定理よりも有用なので、必ず覚えておこう。

関連リンク

• 群論におけるコーシーの定理