📂複素解析

等角写像としての三角関数

定理 ¹

等角写像 $w = f(z) = \sin z$は垂直線$y=k$を楕円に、水平線$x = k$を双曲線に対応させる。

証明

$$ z = x + iy \\ w = u + i v $$ とすると $$ u = \sin x \cosh y \\ v = \cos x \sinh y $$である。$y = k$とすると $$ {{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} = \sin^{2} x \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = \cos^{2} x $$ 両辺同士を足すと $$ {{ u^2 } \over { \cosh^{2} k}} + {{ v^2 } \over { \sinh^{2} k}} = 1 $$ すなわち楕円の方程式になる。$x = k$とすると $$ {{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} = \cosh^{2} y \\ \displaystyle {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = \sinh^{2} y $$ 両辺同士を引くと $$ {{ u^2 } \over { \sin^{2} k}} - {{ v^2 } \over { \cos^{2} k}} = 1 $$ すなわち双曲線の方程式になる。

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