📂複素解析

有理型関数の零点と極

定理 ¹

単純閉曲線 $\mathscr{C}$上で解析的な関数 $f$が $\mathscr{C}$の内部で $Z$個の零点と $P$個の極を持ち、$\mathscr{C}$上で $f(z) \ne 0$であるとする。すると $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = Z - P $$

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• $Z$と $P$は重複する数をすべて足した数である。

説明

解析的整数論

関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が極を持たないなら、方程式 $f(z) = 0$の解の個数を求める公式となる。注目すべき点は、整数が登場したということである。複素解析は一見すると整数論とはまったく関係がなさそうだが、実際には非常に多く使われている。そもそも整数論には、複素解析を使わない証明を指す「初等的証明」という言葉があるほどである。

対数トリック

被積分関数がこんな形をしていて一体どこで使えるのかと思うだろうが、これは$\log f$の導関数の形である。このような形は思ったより分野を問わず数学全般で頻繁に登場する。

算術関数の微分: 算術関数 $f$の微分あるいは導関数 $f '$を次のように定義する。 $$ f ' (n) := f(n) \log n \qquad , n \in \mathbb{N} $$

証明

戦略: 一般性を失うことなく、$n$次の零点と $m$次の極をそれぞれ一つずつだけ持つとしよう。それらは幾何的に見れば一つの点だが、代数的に見ればそれぞれ重複度^multiplicity $n$と $m$を持つ、すなわち複数の点が一箇所に集まっているものである。これら二つの点についてのみ公式を導出し、複数の点については $\mathscr{C}$を分割して一般化すればよい。

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Part 1. 零点

$\alpha$を $f$の $n$次^{order $n$}の零点とすると、ある関数 $g$について $f(z) = (z- \alpha)^{n} g(z)$と表すことができ、その導関数 $$ f ' (z) = n \left( n - \alpha \right)^{n-1} g(z) + (z- \alpha)^{n} g ' (z) $$ を $f(z)$で割ると、次のように左辺を対数合成関数の導関数トリックの形で表すことができる。 $$ {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} + {{g ' (z)} \over {g(z)}} $$ $\mathscr{C}$上で $f(z) \ne 0$なので $\log f$は $\mathscr{C}$全体で解析的である。一方解析的関数の導関数は解析的なので $f ' / f$もまた解析的であり、同様に $\mathscr{C}$上では $f(z) \ne 0$なので $1 / (z - \alpha)$もまた解析的である。これにより $\displaystyle {{g ' (z)} \over {g(z)}} = {{n} \over {z - \alpha}} - {{f ' (z)} \over {f(z)}}$も $\alpha$で解析的である。

• コーシー積分公式 $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz $$
• コーシーの定理: $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0 $$

$f$の他の零点や極を含まない $\alpha$のある近傍 $\mathcal{N}_{\alpha}$において、コーシー積分公式により $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{n} \over {z - \alpha}} dz = 2 n \pi i $$ であり、コーシーの定理により $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{g ' (z)} \over {g(z)}} dz = 0 $$ であるので、結果的に次を得る。 $$ \int_{\mathcal{N}_{\alpha}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = 0 + 2 n \pi i $$

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Part 2. 極

極についても零点で行ったのと同様である。$\beta$を $f$の $m$次の極としよう。すると、ある関数 $h$について $\displaystyle f(z) = {{h(z)} \over {(z - \beta)^m}}$と表すことができるだろう。

一方 $\displaystyle {{f ' (z)} \over {f(z)}} = {{h ' (z)} \over {h(z)}} - {{m} \over {z - \beta}}$において $\displaystyle {{h ' (z)} \over {h(z)}}$は $\beta$の近傍 $\mathcal{N}_{\beta}$で解析的なので、コーシーの定理により $$ \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{h ' (z)} \over {h(z)}} dz = 0 $$ コーシー積分公式により $$ \int_{\mathcal{N}_{\beta}} {{m} \over {z - \alpha}} dz = 2 m \pi i $$

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Part 3. 結論

一般化された収縮補題により、すべての零点と極についてこれまでの計算を有限回繰り返すと、次を得る。 $$ {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f ' (z)} \over {f(z)}} dz = \sum n_{i} - \sum m_{j} = Z - P $$

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