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留数定理を用いた全整数に対する級数の和の公式

公式

多項式関数の比、すなわち有理関数である$f$が$n \in \mathbb{Z}$で$f(n) \ne 0$かつ$\lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$であるとしよう。$f$が有限個の特異点$z_{1}, \cdots , z_{m}$を持つとき、 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

説明

単に自然数だけをすべて足すのではなく、全整数に対する和を有限な合計として表す点に意義がある。もちろん与えられた$f$が偶関数である場合、その半分を取れば自然数に対する和を求めることにも応用が可能である。コタンジェントはもちろん$\pi$まであちこちに掛けられた複雑な形のため覚えて使うのは難しいが、このようなツールがあるということは知っておこう。

導出 ¹

Part1 . 長方形上における$\cos \pi z$の有界性

自然数$k \in \mathbb{N}$に対して上の図のような経路$\mathscr{C}_{k}$を考えてみよう。有理関数$f$がある自然数$k_{0}$が存在して$k>k_{0}$のとき$\mathscr{C}_{k}$上で連続であり$\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$であると仮定しよう。

各$\mathscr{C}_{k}$に対して$\displaystyle |z| \ge k + {{1 } \over {2}} > k$であり連続であるという仮定から、すべての$\varepsilon> 0$に対して $$ {{1} \over {|z|} } < \delta \implies |z f(z) | < \varepsilon $$ を満たす$\delta > 0$が存在する。$\displaystyle k > {{1} \over {\delta}}$と選べば$\mathscr{C}_{k}$で$\varepsilon > 0$に対して$\displaystyle |f(z)| < {{\varepsilon} \over {k + 1/2}}$を満たす$k$が存在する。

• 三角関数の加法定理: $$ \sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta \\ \sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta \\ \cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta \\ \tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta } \\ \tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta } $$
• 三角関数と双曲線関数の関係: $$ \begin{align*} \sinh (iz) =& i \sin z \\ \sin (iz) =& i \sinh z \\ \cosh (iz) =& \cos z \\ \cos (iz) =& \cosh z \end{align*} $$
• 三角関数と指数関数の関係: $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$

便宜上$\alpha := k + 1/2$と置けば$\cos \alpha \pi = 0$であり$\sin \alpha \pi = (-1)^{k}$である。$\mathscr{C}_{k}$上で$|\cot \pi z|$は$\mathscr{C}_{k}$の垂直線上では$z = \pm \alpha + iy$であり$\left| y \right| \le \alpha$なので、 $$ \begin{align*} |\cot \pi z| =& \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cos i \pi y - \sin \pm \alpha \pi \sin i \pi y } \over { \sin \pm \alpha \pi \cos i \pi y + i \cos \alpha \pi \sin i \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ \cos \alpha \pi \cosh \pi y \mp i \sin \alpha \pi \sinh \pi y } \over { \pm \sin \alpha \pi \cosh \pi y + i \cos \alpha \pi \sinh \pi y }} \right| \\ =& \left| {{ 0 + 1 \cdot \sinh \pi y} \over { 1 \cdot \cosh \pi y + 0 }} \right| \\ =& \left| \tanh \pi y \right| \\ <& 1 \end{align*} $$ であり、$\mathscr{C}_{k}$の水平線上では$z = x \pm i \alpha$であり同様に$\left| x \right| \le \alpha$である。実数の虚数乗の大きさは常に$1$なので、三角不等式に従って $$ \begin{align*} \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \le& \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| + \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| = e^{\alpha \pi} + e^{ - \alpha \pi} \\ \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \ge& \left| \left| e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} \right| - \left| e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} \right| \right| = e^{\alpha \pi} - e^{ - \alpha \pi} \end{align*} $$ から次を得る。 $$ \begin{align*} |\cot \pi z| = \left| {{ \cos \pi z } \over { \sin \pi z }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi z} + e^{ - i \pi z} } \over { e^{i \pi z} - e^{ -i \pi z} }} \right| \\ =& \left| {{ e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} + e^{ - i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} } \over { e^{i \pi x} e^{\mp \alpha \pi} - e^{ -i \pi x} e^{\pm \alpha \pi} }} \right| \\ \le & {{e^{\alpha \pi} + e^{- \alpha \pi}}\over {e^{\alpha \pi} - e^{- \alpha \pi}}} \\ =& \cot \alpha \pi \\ \le& \max \left\{ \pm \cot {{1} \over {2}} \pi, \pm \cot {{3} \over {2}} \pi \right\} & \because \sin \alpha \pi = (-1)^{k} \\ \le& \cot {{3} \over {2}} \pi \\ <& 2 \end{align*} $$ 結果として、$|\cot \pi z|$は長方形$\mathscr{C}_{k}$上で常に有界である。

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Part 2. $\lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$

$\mathscr{C}_{k}$の長さは $$ 8 \left( k + {{1 } \over {2}} \right) $$ なので、ML補助定理により $$ {{1} \over {k}} < \delta \implies \left| \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz \right| \le {{8 (k + 1/2) 2 \varepsilon } \over { k + 1/2}} = 16 \varepsilon $$ したがって $$ \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0 $$

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Part 3. $\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z)$

いま$F(z) := \pi f(z) \cot \pi z$と定義すると、$f(n) \ne 0$なので$n \in \mathbb{Z}$たちはすべて$F$の単純極となる。留数を求めてみると、 $$ \text{Res}_{n} F(z) = {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { (\sin \pi z)' }} = \left. {{ \pi f(z) \cos \pi z} \over { \pi \cos \pi z }} \right|_{z = n} = f(n) $$ 仮定に従い$F$は依然として特異点$z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m}$たちを持つので、留数定理により $$ \begin{align*} \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} F(z) dz =& \lim_{k \to \infty} 2 \pi i \left( \sum_{n = -k} ^{k} f(n) + \sum_{n = 1} ^{m} \text{Res}_{z_{n}} F(z) \right) \\ =& 2 \pi i \left( \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) + \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) \right) \end{align*} $$ 我々はすでに上で$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) \cot \pi z dz = 0$であることを示したので、 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

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交代級数に対する公式

全整数に対する交代級数の和の公式: 有理関数$f$に対して $$ \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0 $$ かつ$n \in \mathbb{Z}$で$f(n) \ne 0$であるとしよう。$f$が有限個の特異点$z_{1}, \cdots , z_{m}$を持つとき、 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^{n}f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \csc \pi z) $$

一方、交代級数に対しても上と同様に導出できるので、直接手で書きながらやってみよう。