📂複素解析

複素解析を用いたテイラー級数の導出

定理 ¹

関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が円 $|z - \alpha| < r$で解析的ならば $$ f(z) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (\alpha)} \over {n!}} (z - \alpha)^n $$

説明

数学の楽しみの一つがまさに一般化である。テイラーの定理からして平均値の定理を一般化したものと言えるが、今回は実数を複素数へ拡張してみよう。面白い事実は、無理やり拡張するのではなく実質的に最初から積み上げているにもかかわらず、証明はより簡単になったということである。斬新なうえに形がすっきりしており、学ぶ甲斐を感じさせてくれる証明法である。

導出

まず円 $\mathscr{C}: |z| = r$とその内部の点$w$を考えてみよう。コーシーの積分公式により、 $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z - w}} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} { {1} \over {1 - {{w} \over {z}} } } dz \end{align*} $$ 無限等比級数で表すと$\displaystyle {{1} \over {1 - { {w} \over {z} } }} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n}$であり、上の積分に再び代入すると $$ \begin{align*} f(w) =& {{1} \over {2 \pi i}} \int_{ \mathscr{C} } {{f(z)} \over {z}} \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{w} \over {z}} \right) ^{n} dz \\ =& {{1} \over {2 \pi i}} \sum_{n=0}^{\infty} w^{n} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz \end{align*} $$

微分について一般化したコーシーの積分公式: 関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が単連結領域 $\mathscr{R}$で解析的であるとしよう。

$\mathscr{R}$の内部の単純閉曲線 $\mathscr{C}$がある点$\alpha$を囲んでいるならば、自然数 $n$について

$$f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz$$

再びコーシーの積分公式により$\displaystyle {{1} \over {2 \pi i}} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over {z^{n+1}}} dz = {{f^{(n)} (0)} \over {n!}}$であるから $$ f(w) = \sum_{n = 0} ^{\infty} {{f^{(n)} (0)} \over {n!}} w^n $$ である。今度は円 $|z- \alpha| = r$へ一般化するために$z-\alpha = w$と置くと $$ f(z) = f(w+\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)}(\alpha) (z-\alpha)^{n}} \over {n!}} $$

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