ド・モアブルの定理を用いた三角関数の三倍角公式の導出
公式
$$ \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} \\ \cos 3\theta = 4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta $$
説明
従来の変形公式は、普通三角関数の加法定理を何度も使うことで得られた。
例えば倍角公式は、$\sin(a + b ) = \sin {a} \cos {b} + \sin {b} \cos {a}$に$b=a$を代入して$\sin(a+a) = \sin{2a} = 2 \sin{a} \cos{a}$を得るという具合である。もちろんこの方法で三倍角、四倍角の公式を導出すること自体には何の問題もない。しかし複素解析を利用すれば、もっとスマートにこうした公式を導出できる。
変形公式そのものよりも導出過程そのものが有用なので、必ず熟知しておこう。
導出
ド・モアブルの定理: $z = r \text{cis} \theta$ならば$z^n = r^n \text{cis} n\theta$
ド・モアブルの定理により、$r=1$とすると $$ (\cos{3\theta} + i \sin{3 \theta}) = \text{cis} 3\theta = z^3 = (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^3 $$ 上の等式が成り立つことと必要十分条件なのは、両辺の実部と虚部がそれぞれ互いに等しいことである。右辺を展開するために二項定理を使うと $$ \begin{align*} (\cos{3\theta} + i \sin{3 \theta}) =& (\cos{\theta} + i \sin{\theta})^3 \\ =& \cos ^3 {\theta} + i 3 \cos ^2 {\theta} \sin{\theta} - 3 \cos {\theta} \sin ^2 {\theta} - i \sin ^3 {\theta} \\ =& ( \cos ^3 {\theta} - 3 \cos {\theta} \sin ^2 {\theta} ) + i ( 3 \cos ^2 {\theta} \sin{\theta} - \sin ^3 {\theta} ) \\ =& (4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta) + i ( 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} ) \end{align*} $$ すなわち $$ \sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^{3} {\theta} \\ \cos 3\theta = 4 \cos^{3} {\theta} - 3 \cos \theta $$
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応用
二項定理を利用するアイデアを見れば分かるように、特に三倍角に縛られた導出法ではない。いくらでも自然数に対して拡張でき、級数で表して一般的な公式を得ることもできるだろう。また導出過程を逆に遡ってみると、次数の高い三角関数の項を複数の項に分解できることが分かる。