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代数学の基本定理の証明

定理 ¹

$n$次多項式関数$P(x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \cdots + a_{n} x^{n}$は重根を含めてちょうど$n$個の根を持つ。

説明

実のところ、我々は多項式を解くとき当然解が存在するかのように解いているが、それが必ずしもそうだという保証があるとは限らない。例として、2次多項式$x^2+1 = 0$は実根が存在しない。しかしここで複素数を許容すれば$\pm i$という二つの解が存在することがわかる。

事実として言うなら、多項式を解くとき虚根を許容すればとにかく解は必ずあり、しかもちょうど次数の分だけ存在する。あらゆる基本定理がそうであるように、その重要性については言うまでもない。核心となるアイデアはリウヴィルの定理であり、自然数$n$について一般化するために数学的帰納法が用いられる。

証明

まず$P(z) = 0$を満たす解が存在しないと仮定すれば、$\displaystyle {{1} \over {P(z)}}$は整関数であり、$\displaystyle \lim_{|z| \to \infty} \left| {{1} \over {P(z)}} \right| = 0$であるから有界^boundedである。

リウヴィルの定理: $f$が整関数で有界ならば$f$は定数関数である。

リウヴィルの定理により$P$は定数関数でなければならないが、これは仮定に矛盾するので$P(z) = 0$は少なくとも一つの解を持つ。

では自然数について一般化してみよう。$P(z) = 0$は少なくとも一つの解を持つと述べたが、その解を$z = \alpha$とすれば $$ P(z) = (z-\alpha) Q(z) $$ ここで$Q(z) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^2 + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} = 0$もまた少なくとも一つの解を持つ。この過程を繰り返せば数学的帰納法により$n$次多項式$P(z) = 0$はちょうど$n$個の解を持つ。

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関連リンク

• 抽象代数の用語で表現された代数学の基本定理