📂複素解析

複素経路積分の収縮補題

定理¹

単純閉経路 $\mathscr{C}$ を含む単連結領域で、$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が $\mathscr{C}$ の内部の点 $\alpha$ を除くすべての点で解析的だとしよう。すると、$\mathscr{C}$ の内部で $\alpha$ を中心とする閉曲線 $\mathscr{C} '$ に対して $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz $$

説明

言葉は長いが、結局のところ、閉経路で複素積分をするときには、ある点を中心にその閉経路を収縮させられるということだ。

積分区間をこれほど自由に変えられるとは、実数では想像もできないことだ。注意すべき点は、$\alpha$で必ずしも微分不可能である必要はないということだ。そして、証明過程を見ればわかるが、$\mathscr{C} '$も必ず円でなければならない理由はない。

証明

$$\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz + \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz = \int_{\mathscr{C}} f(z) dz - \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$

コーシー・グルサの定理：単連結領域 $\mathscr{R}$で$f$が解析的であれば、$\mathscr{R}$の内部の単純閉経路 ${\Gamma}$に対して $$ \int_{{\Gamma}} f(z) dz = 0 $$

コーシー・グルサの定理により、$\displaystyle \int_{\Gamma_{1} } f(z) dz = 0$であり$\displaystyle \int_{\Gamma_{2} } f(z) dz =0$である。したがって $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz $$

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一般化

分割に対して一般化された収縮補題：単純閉経路 $\mathscr{C}$を含む単連結領域で、$f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が$\mathscr{C}$の内部の有限個の点 $\alpha_{1} , \alpha_{2}, \cdots \alpha_{n}$ を除くすべての点で解析的だとしよう。すると、$\mathscr{C}$の内部で$\alpha_{k}$を中心とする円 $\mathscr{C_k}$に対して $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \sum_{k=1}^{n} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz$$

経路を分割するアイデアをもう少し適用してみると、自然に一般化された定理が得られる。