📂複素解析

ワイエルシュトラスのM判定法

定理 ¹

関数$f_{n}$と$z \in A$に対して$|f_{n}(z)| \le M_{n}$を満たす正の数列$M_{n}$が存在し$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$が収束すれば、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$は$A$上で絶対収束かつ一様収束する。

説明

M判定法という名前は数列$M_{n}$から取ったものである。すでに収束することが分かっている$M_{n}$をうまく持ってきて関数の絶対値との不等式を立てられれば、単なる収束ではなく絶対収束と一様収束を同時に示せるので有用な定理である。何よりも不等式が立てられた後は実数の数列だけを考えればよいので便利である。

証明

絶対収束は非常に簡単に示せる。

交代級数判定法: $b_n \downarrow 0$ならば$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ (-1)^{n} {b}_{n}}$は収束する。

比較判定法と定理の仮定により$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |f_{n}(z)|$は収束し、絶対収束の定義に従って絶対収束すると言える。

続いて一様収束はコーシー判定法を用いる。

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$において$k$番目以降の残りの項の和を$R_{k}(z)$とし、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_{n}$において$k$番目以降の残りの項の和を$R_{k}^{ \ast }$とすれば、次が成り立つ。 $$ |R_{k}(z)| = \left| \sum_{n=k+1}^{\infty} f_{n}(z) \right| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} |f_{n}(z)| \le \sum_{n=k+1}^{\infty} M_{n} = R_{k}^{ \ast } $$

コーシー判定法: $\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$が収束することは$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum _{ k=n }^{ n+m }{ { a }_{ k }}=0$と同値である。

コーシー判定法により$\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}^{ \ast } = 0$なので$\displaystyle \lim_{k \to \infty} |R_{k}(z)| = 0$、すなわち$\displaystyle \lim_{k \to \infty} R_{k}(z) = 0$である。すべての$z \in A$で上の議論を適用できるので、$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(z)$は$A$上で一様収束する。

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