📂複素解析

複素解析を用いた平方数の逆数の和の計算

定理 ¹

$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

オイラーの解法はすっきりしていて見事ではあるが、アイデアがあまりに奇抜で、いざ使う場面はあまりない。複素解析を学びながら最も楽しい点は、このような結果を出すショートカットが次々と現れることである。例題としても良いので、実際に一度解いてみよう。

証明

$\displaystyle f(z) : = {{1} \over {z^2}}$と定義すると$\displaystyle \lim_{z \to \infty} z f(z) = 0$である。

すべての整数にわたる級数の和の公式：有理関数$f$について、$\lim_{n \to \infty} z f(z) = 0, n \in \mathbb{Z}$で$f(n) \ne 0$であるとしよう。$f$が有限個の特異点$z_{1}, \cdots , z_{m}$を持つとき、 $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = - \sum_{n = 1}^{m} \text{Res}_{z_{n}} (\pi f(z) \cot \pi z) $$

そのまま直接適用することはできず、$n \ne 0$に対する例外処理が必要である。

$F(z): = \pi f(z) \cot \pi z$と定義すると、$n \ne 0$については$\text{Res}_{n} F(z) = f(n)$である。

コタンジェントのローラン展開: $$ \cot z = {{1} \over {z}} - {{z} \over {3}} - {{z^{3}} \over {45}} - {{2 z^{5}} \over {945}} - \cdots \\ \csc z = {{1} \over {z}} + {{z} \over {6}} + {{7 z^{3}} \over {360}} + {{31 z^{5}} \over {15120}} + \cdots $$

一方、$n=0$の近傍では $$ F(z) = {{\pi} \over {z^2}} \left( {{1} \over { \pi z}} - {{ \pi z} \over {3}} - {{ \pi^{3} z^{3}} \over {45}} - \cdots \right) $$ であるから $$ \text{Res}_{0} F(z) = - {{\pi^2} \over {3}} $$ $F$は$n \in \mathbb{Z}$以外には特異点を持たないので $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) = \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) - {{\pi^2} \over {3}} + \sum_{n=1}^{\infty} f(n) = 0 $$ $f$は偶関数であるから$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{-1} f(n) = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$であり、整理すると $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$

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関連リンク

• オイラーの解法