📂複素解析

等角写像は内角の大きさを保存する

定理 ¹

複素領域$\mathscr{R}$で関数$f$が等角写像であり、曲線$\mathscr{C}_{1}$と$\mathscr{C}_{2}$が一点$\alpha$で交わり、その内角を$\psi$とする。

$\mathscr{C}_{1} ' $と$\mathscr{C}_{2} ' $が$\mathscr{C}_{1}$と$\mathscr{C}_{2}$を$f$で送った像であるとすると、二つの曲線は$\beta = f ( \alpha )$で交わり、その内角もまた$\psi$だ。

説明

解析学らしく言葉は難しいが、要は図形が作る内角を等角写像が保存するということだ。そもそも等角写像という名前自体がこのような性質から来たものだ。

一方、このように角の大きさは保存するが符号が反対になるようにする写像を等辺角写像^{isogonal mapping}という。

証明

$f$は$z = x + iy$を$w = u + iv$に送る等角写像だ。

$\mathscr{C}_{1}$と$x$軸が作る内角の大きさを$\psi_{1}$、$\mathscr{C}_{1}$上の一点を$z_{1}$とする。同様に$\mathscr{C}_{2}$と$x$軸が作る内角の大きさを$\psi_{2}$、$\mathscr{C}_{2}$上の一点を$z_{2}$とする。すると$\mathscr{C}_{1}$と$\mathscr{C}_{2}$が作る内角は$\psi_{2} - \psi_{1} = \psi$になるだろう。

$$ z - \alpha := r e^{i \theta_{1}} \\ z_{2} - \alpha = r e^{i \theta_{2}} $$ と置くと、$r \to 0$のとき $$ \theta_{1} \to \psi_{1} \\ \theta_{2} \to \psi_{2} $$ だ。一方、$w_{k}: = f(z_{k})$とすると $$ w_{1} - \beta = R_{1} e^{i \phi _{1}} \\ w_{2} - \beta = R_{2} e^{i \phi _{2}} $$ だ。仮定で$f ' (\alpha) \ne 0$が存在するとしたので、$\rho > 0$に対して$f ' (\alpha) = \rho e^{ i \lambda }$と置くことができる。

$$ f ’ ( \alpha) = \lim_{z_{1} \to \alpha } {{w_{1} - \beta } \over {z_{1} - \alpha }} = \lim_{z_{1} \to \alpha} {{R_{1}} \over {r}} e^{ i ( \phi_{1} - \theta_{1} )} = \rho e^{ i \lambda } $$ であるから $$ \lim_{z_{1} \to \alpha } (\phi_{1} - \theta_{1}) = \lambda $$ であり、これに従い $$ \lim_{w_{1} \to \beta } \phi_{1} = \psi_{1} + \lambda \\ \lim_{w_{2} \to \beta } \phi_{2} = \psi_{2} + \lambda $$ を得ることができる。したがって$\mathscr{C}_{1} ' $と$u$軸が作る内角の大きさは$\psi_{1} + \lambda$で、$\mathscr{C}_{2} ' $と$u$軸が作る内角の大きさは$\psi_{2} + \lambda$になる。最後に、$\mathscr{C}_{1} ' $と$\mathscr{C}_{2} ' $が作る内角は$\lambda$どうしが相殺されて $$ (\psi_{2} + \lambda) - (\psi_{1} + \lambda) = \psi_{2} - \psi_{1} = \psi $$ になる。

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