コーシー・リーマン方程式の逆が成立する条件
定理
複素領域$A \subseteq \mathbb{C}$上で定義された複素関数$f: A \to \mathbb{C}$が、実数値をとる関数$u,v$に対して $$ f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y) $$ と表すことができ、$u,v$が$x,y$に関して連続な一次偏導関数を持つと同時に連立微分方程式 $$ \begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases} $$ を満たすならば、$f$は$A$上で解析的である。
説明
解析学はいつもこのように文章が長くて読む気が失せるのが問題だ。簡単に要約すると、コーシー・リーマン方程式の逆が成立するためには偏導関数たちが連続でなければならないということだ。当然、我々が扱うほとんどの関数はこの条件を容易に満たす。
証明
Part 1. $u_{x}, u_{y}$の形
一般性を失わず、二つの実数$\alpha , \beta > 0$に対して$h := \alpha + i \beta$とおくと、$f$について $$ f(z+h) - f(z) = [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] $$ を得る。同様に一般性を失わず$u$だけを考えてみると、平均値の定理により $$ \begin{align*} & u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) \\ =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) + u(x,y+\beta) - u(x,y) \\ =& [u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta)] + [u(x,y+\beta) - u(x,y)] \\ =& \alpha u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) + \beta u_{y} (x,y+\phi \beta) \end{align*} $$ を満たす$0<\theta<1$と$0<\phi<1$が存在する。
平均値の定理：関数$f(x)$が$[a,b]$で連続であり$(a,b)$で微分可能ならば、$\displaystyle f '(c)={{f(b)-f(a)}\over{b-a}}$を満たす$c$が$(a,b)$に少なくとも一つ存在する。
ここで$\theta \in (0,1)$とおけるのは、$u \left( x , y + \beta \right)$が$\left[ x , x + \alpha \right]$上で平均値の定理を使うとき $$ \begin{align*} {{ \partial u } \over { \partial x }} \left( c , y + \beta \right) =& {{ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) } \over { \left( x + \alpha \right) - x }} \\ \implies \alpha u_{x} \left( c , y + \beta \right) =& u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y+\beta) \end{align*} $$ のように$c \in \left( x , x + \alpha \right)$を$x$と$\left( x + \alpha \right)$の間の数$x + \theta \alpha$として表せるからである。
Part 2. $f ' (z)$の形
さて、ある$\varepsilon_{1}$と$\varepsilon_{2}$に対して $$ \begin{align*} u_{x} (x+\theta \alpha,y+\beta) =& u_{x} + \varepsilon_{1} \\ u_{y} (x,y+\phi \beta) =& u_{y} + \varepsilon_{2} \end{align*} $$ とおくと、仮定で$u_{x}$と$u_{y}$が連続だとしたので、$(\alpha,\beta) \to 0$のとき$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \to 0$となるはずだ。（この部分のために連続性が必要である。）したがって $$ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) = \alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2} $$ であり、同じ方法で$v$もまた、ある$\eta_{1}$と$\eta_{2}$に対して $$ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) = \alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2} $$ とおくことができる。再び$f(z+h) - f(z)$に戻ってみると、$u,v$がコーシー・リーマン方程式を満たすので $$ \begin{align*} & f(z+h) - f(z) \\ =& [ u(x+\alpha,y+\beta) - u(x,y) ] + i [ v(x+\alpha,y+\beta) - v(x,y) ] \\ =& [\alpha u_{x} + \beta u_{y} + \alpha \varepsilon_{1} + \beta \varepsilon_{2}] + i [\alpha v_{x} + \beta v_{y} + \alpha \eta_{1} + \beta \eta_{2}] \\ =& h(u_{x} + i v_{x}) + \alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2} \end{align*} $$ であり、ここで$\xi_{1} := \varepsilon_{1} + \eta_{1}$であり$\xi_{2} := \varepsilon_{2} + \eta_{2}$である。今 $$ f ' (z) = \lim_{h \to 0} {{f(z+h) - f(z)} \over h} = \lim_{h \to 0} \left( u_{x} + i v_{x} + {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} \right) $$ なので、$\lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$さえ示せば証明は終わる。
Part 3. $\displaystyle \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0$
不等式 $$ \left| {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over {h}} \right| \le { {\max (|\alpha|,|\beta|)} \over {\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} } |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1} + \xi_{2}| \le |\xi_{1}| + |\xi_{2}| $$ から $$ \lim_{h \to 0} \xi_{1} = 0 \\ \lim_{h \to 0} \xi_{2} = 0 $$ なので、次が成立する。 $$ \lim_{h \to 0} {{\alpha \xi_{1} + \beta \xi_{2}} \over h} = 0 $$
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リニューアル
- 23年8月19日、류대식、平均値の定理関連の内容を集中的に補強