📂複素解析

最大絶対値定理の証明

定理 ¹

関数 $f$ が単純閉経路 $\mathscr{C}$ 上で連続であり内部で解析的であって、どの点でも定数関数でないとしよう。すると $\mathscr{C}$ で $|f(z)|$ を最も大きくする $z = z_{0}$ は $\mathscr{C}$ 上に存在する。

説明

簡単に言えば複素解析では閉経路内で $|f|$ の最大値はその縁に存在するということである。ここまでくると直観的には追いつけないレベルで、なぜかは分からないが本当に不思議だとしか言えない。体得のためには実際に自分でいろいろな関数を考えてみて事実であることを確認するのがよい。

普通、定理というものは事実としては受け入れやすくても証明を理解するのが難しいものだが、最大・最小絶対値定理はむしろその逆である。絶対値が使われるので実関数での幾何学的な形が絶えず思い浮かび、理解の妨げになることがある。百歩譲って、ある関数があって経路積分区間の縁に最大絶対値が存在するのはそうだとしても、最小絶対値もまた同じ縁にあるとは想像しがたい。だから形にあまり気を取られず、上で説明したように直接いろいろな関数に適用しながら受け入れることにしよう。

次は $\displaystyle {{1} \over {f}}$ を考えてみれば当然のことで、最大絶対値定理により $\displaystyle \left| {{1} \over {f}} \right|$ を最も大きくする点が $\mathscr{C}$ 上に存在する。その点は言い換えれば $|f|$ を最も小さくする点なので、最小絶対値定理を演繹することができる。

最小絶対値定理

関数 $f$ が単純閉経路 $\mathscr{C}$ 上で連続であり内部で解析的であって、どの点でも定数関数でないとしよう。

$\mathscr{C}$ 内部で $|f(z)| \ne 0$ ならば $|f(z)|$ を最も小さくする $z = z_{0}$ は $\mathscr{C}$ 上に存在する。

証明

$|f(z)|$ が最大となる点 $z = z_{0}$ が $\mathscr{C}$ 内部に存在すると仮定しよう。すると実数の稠密性により $|z - z_{0}| = r$ が $\mathscr{C}$ 内部に存在するようにする $r>0$ も常に存在する。

一方 $\left| f(z_{0}) \right|$ は $z = z_{0}$ で最大値を持つので $|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| \le \left| f(z_{0}) \right|$ であるが、どの点でも定数関数でないので $|f(z_{0} + r e ^{ i \theta } )| < \left| f(z_{0}) \right|$ でなければならない。

ガウスの平均値定理: 関数 $f$ が閉じた円 $| z - z_{0} | \le r$ で解析的であれば $$f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta$$

ガウスの平均値定理により $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta $$ 両辺に絶対値を取ると $$ \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| =& \left| {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta \right| \\ \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \end{align*} $$ ところが $$ \begin{align*} \left| f(z_{0}) \right| \le & {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) | d \theta \\ <& {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} | f(z_{0}) | d \theta \\ =& \left| f(z_{0}) \right| \end{align*} $$ なので $$ \left| f(z_{0}) \right| < \left| f(z_{0}) \right| $$ これは矛盾なので、$z=z_{0}$ は $\mathscr{C}$ 内部に存在できない。

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