関数

古くから「数学者が亡くなるとは、functionを失うこと」と言われてきた。数学全般で使用される関数を網羅しているが、あるカテゴリーに分類するには微妙なほどだ。

• 解析的整数論で使用される算術関数は、整数論カテゴリーに別途分けてある。
• ディープラーニングでよく使用される活性化関数は、機械学習カテゴリーに別途分けてある。
• ブール関数は、量子情報理論カテゴリーに別途分けてある。

匿名関数

• 定数関数 $c$
• 多項式関数 $P(z)$
  • 有理関数 $Q(z)$
• 偶関数と奇関数
  • 任意の関数は常に偶関数と奇関数の和として表現できる
• 生成関数
• 周期関数
  • 周期関数の一周期の積分は、積分区間に関係なく常に同じ値を持つ
  • 半波対称関数
• 調和関数 $\Delta f = 0$
  • バイ調和関数 $\Delta^{2} f = 0$
  • 多調和関数$\Delta^{k} f = 0$
• 線形関数
  • 準線形関数
  • 共軛線形関数
• 加法関数と乗法関数
  • 加法性を持つ連続関数の性質
• 合成関数 $f \circ g$
• 単調関数、増加関数、減少関数
  • 生存関数
• 一般的な凸関数
  • 凸関数、凹関数
  • 凸関数の様々な性質
• 関数の縮小写像、拡張 $f\vert_{U}, \tilde{f}$
• 包含関数 $i$
• 交代関数
• 行列関数、指数行列関数 $\mathbf{x}(t) , A(t)$
• 放射関数
• 有界関数
• 多価写像 $f : X \rightrightarrows Y$
• 斉次関数 $f(ax) = a^{n}f(x)$
• 変数分離可能な関数 $f(x, y) = g(x)h(y)$

名前付き関数

• 天井関数と床関数 $\lceil \cdot \rceil$, $\lfloor \cdot \rfloor$
• 関数としての対角行列、対角成分 $\text{diag}$
• 指数関数 $\exp$
  • 指数関数の微分法
• 対数関数 $\log$
  • 対数の底の変換公式
  • 対数関数の微分法
  • 指数関数と対数関数の極限
• 絶対値関数 $\left| \cdot \right|$
• 階段関数 $H$
• ハードしきい値とソフトしきい値 $\eta$
  • ランプ関数 $R$
  • 符号関数 $\text{sgn}$
  • 恒等関数 $I, \text{1}, \text{id}$

万象関数

• 円関数 $\sin$, $\tan$, $\sec$
  • 特殊角度での関数値
  • 加法定理
  • $\sin^{2}+\cos^{2}=1$ の証明
  • コサイン法則の第2法則
  • 和差公式と積公式
  • 半角公式と倍角公式
  • 合成公式 $A\cos\theta + B \sin \theta = \sqrt{A^{2} + B^{2}}\sin(\theta + \phi)$
  • 恒等式
  • 微分法
  • 三角関数の平行移動と導関数の関係
  • さまざまな三角関数の積分法
• 逆円関数 $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$
  • アークタンジェント2 $\arctan 2$
  • 微分法
• 双曲関数 $\sinh$, $\tanh$
  • 双曲関数の表記法と命名の由来
  • 加法定理
  • 和差公式と積公式
  • 半角公式と倍角公式
  • 合成公式 $A\cosh\theta + B \sinh\theta = \sqrt{A^{2} - B^{2}}\sinh(\theta + \phi)$
  • 恒等式
  • 微分法
• 逆双曲線関数 $\sinh^{-1}, \cosh^{-1}, \tanh^{-1}$
  • 微分法
• サインク関数 $\operatorname{sinc}$
  • オイラーの証明：サインク関数を用いた平方数の逆数の和
  • ウォリスの積

アルファベット関数

• ディラックのデルタ関数 $\delta$
  • 性質
• 特性関数、指示関数 $\chi$

ガンマ関数

• 階乗、二重階乗、多重階乗
  • 階乗に関する公式
  • 階乗0が0!=1と定義される理由
• ガンマ関数 $\Gamma$
  • ガンマ関数の導出
  • ポッホハマー記号
  • ガンマ関数と階乗が含まれる様々な重要な公式
  • ガンマ関数の単純極
• オイラーの極限公式：ガンマ関数の第2形式
• ヴァイエルシュトラスの無限積：ガンマ関数の第3形式
  • オイラー・マスケローニ定数の収束性証明
• オイラーの反射公式
• ルジャンドルの倍角公式
• スターリング近似公式の厳密な証明
• ディガンマ関数：ガンマ関数の導関数と逆数の積 $\psi_{0} := \Gamma’ / \Gamma$
  • ガンマ関数の1での導関数 $\Gamma’ (1) = - \gamma$

ベータ関数

• ベータ関数 $B$
  • ベータ関数の三角関数表現
  • ベータ関数とガンマ関数の関係
  • ベータ関数の不適切積分形式表現
• オイラー積分：ベータ関数とガンマ関数

リーマンゼータ関数

• リーマンゼータ関数 $\zeta$
  • リーマンゼータ関数のローラン展開
• ディリクレエータ関数 $\eta$
• ガンマ関数とリーマンゼータ関数 ディリクレエータ関数との関係
• ポアソン和公式
• ヤコビゼータ関数 $\vartheta$
• リーマンのゼータ関数 $\xi$
• リーマン関数方程式とリーマンゼータ関数の自明な根
• リーマン予想
• ラマヌジャン和
  • $1+1+1+1+1+⋯=-1/2$ の解析的証明
  • $1+2+3+4+5+⋯=-1/12$ の解析的証明

特殊関数

• 特殊関数とは？
• エアリー関数
• ロドリゲス公式
• ラゲール多項式
  • ラゲール多項式のロドリゲス公式

ベッセル関数

• ベッセル関数 $I_{\nu}$
  • 直交性
  • 再帰関係
• ノイマン関数、第二種ベッセル関数 $N_{\nu}$, $Y_{\nu}$
• ハンケル関数、第三種ベッセル関数 $H_{\nu}$
• 変形ベッセル方程式と変形ベッセル関数 $I_{\nu}$, $K_{\nu}$

レジャンドル多項関数

• レジャンドル多項式

  • 直交性
    • 低次の任意の多項式との直交性
  • 再帰関係
  • 生成関数
  • ロドリゲス公式

• 関連レジャンドル多項式

  • 直交性
  • 負の次数

エルミート多項関数

• エルミート多項式
  • 直交性
  • 再帰関係
  • 生成関数
  • ロドリゲス公式
• エルミート関数
  • エルミート関数が満たす微分方程式の演算子解

その他

• なぜ「陰関数」は誤訳か？
• ディラックのデルタ関数の歴史とディラックがデルタ関数を使用した理由