オイラーの証明: sinc関数を用いた平方数の逆数の和を求める
定理
$$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$
証明
戦略: これはオイラーが残した解法であり、ほかでもないsinc関数のオイラー表現を用いて証明する。アイデアが非常に斬新で面白いので、一度見たら忘れる方が難しいだろう。
sinc関数のオイラー表現: $$ {{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) $$
オイラー表現の右辺を展開して書くと以下のようになる。 $$ \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right) = \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 4 \pi^2 }} \right) \left( 1 - {{x^2} \over { 9 \pi^2 }} \right) \cdots $$ 一方、サイン関数のマクローリン展開を考えると、sinc関数は次のように表せる。 $$ {{\sin x} \over {x}} = {{1} \over {x}} \left( x - {{x^{3}} \over {3!}} + {{x^{5}} \over {5!}} - {{x^{7}} \over {7!}} + \cdots \right) $$ 両辺が互いに等しいということは各項ごとの係数が等しいということであり、$x^{2}$の係数だけを比較すると以下のようになる。 $$ - {{1} \over {3!}} = - {{1} \over {\pi^2 }} - {{1} \over { 4 \pi^2 }} - {{1} \over { 9 \pi^2 }} - \cdots $$ 両辺に$- \pi^2$を掛けると $$ {{\pi^2} \over {6}} = {{1} \over { 1 }} + {{1} \over { 4 }} + {{1} \over { 9 }} + \cdots $$ 整理すると $$ \sum_{n =1 }^{\infty} {{1} \over {n^2}} = {{ \pi ^2 } \over { 6 }} $$
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