ルジャンドルの倍量公式の導出
公式
$$ \Gamma (2r) = {{2^{ 2r - 1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) $$
説明
分かれる形はそれほど美しくはないが、因数を小さく分けられるということは明らかに有用な事実である。導出そのものはベータ関数から派生した補助定理を使えばそれほど難しくない。
導出
$$ B(p,q) = {{\Gamma (p) \Gamma (q)} \over {\Gamma (p+q) }} = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt $$ に対して$r:= p=q$とすると $$ {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = \int_{0}^{1} t^{r-1} (1-t)^{r-1} dt $$ $\displaystyle t = {{1+s} \over {2}}$と置換すると、$\lambda (s) := \left( 1 - s^2 \right)^{r-1}$が偶関数であるので $$ \begin{align*} {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} =& {{1} \over {2}} \int_{-1}^{1} \left( {{1+s} \over {2}} \right)^{r-1} \left( {{1-s} \over {2}} \right)^{r-1} ds \\ =& {{1} \over {2^{1 + 2(r-1)} }} \int_{-1}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \\ =& 2^{1 - 2r} \cdot 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - s^2 \right)^{r-1} ds \end{align*} $$
ベータ関数の三角関数表現の系: $$ B(x,y) = 2 \int_{0}^{1} t^{2x-1} \left( 1 - t^2 \right)^{y-1} dt $$
上の公式に$\displaystyle x = {{1} \over {2}}$と$y = r$を代入すると $$ B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2 \int_{0}^{1} \left( 1 - t^2 \right)^{r-1} dt $$ であるので $$ {{\Gamma (r) \Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} B \left( {{1} \over {2}} , r \right) = 2^{1 - 2r} {{\Gamma \left( {{1} \over {2}} \right) \Gamma (r)} \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} $$ を得る。反射公式より$\displaystyle \Gamma \left( {1 \over 2} \right) = \sqrt{\pi}$であるので $$ {{\Gamma (r)} \over {\Gamma (2r) }} = 2^{1 - 2r} {{\sqrt{\pi} } \over {\Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) }} $$ $\Gamma (2r)$について整理すると $$ \Gamma (2r) = {{2^{2r-1} } \over { \sqrt{ \pi } } } \Gamma \left( r \right) \Gamma \left( {{1} \over {2}} + r \right) $$
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