オイラーの反射公式の導出
公式
整数でない$p$に対して $$ {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} = { {\pi} \over {\sin \pi p } } $$
説明
ガンマ関数を用いた公式の中で最も有名な公式である。
反射公式から得られる有用な結果として$ \Gamma ( { 1 \over 2} ) = \sqrt{\pi}$がある。そのためだろうか。反射公式という名前も$\frac{1}{2}$に対して反射させるという意味で付けられたと言われている。
導出
ワイエルシュトラスの無限積: $$ {1 \over \Gamma (p)} = p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } $$
$$ \begin{align*} {{1} \over {\Gamma (p)}} \cdot { 1 \over { \Gamma ( -p )}} =& p e^{\gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 + {p \over n} \right) e^{- {p \over n} } \cdot (-p) e^{- \gamma p } \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p \over n} \right) e^{ {p \over n} } \\ =& -p^2 \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) \end{align*} $$ 一方、${ \Gamma ( 1-p )} = -p \Gamma (-p)$であるから $$ { 1 \over {\Gamma (1-p) \Gamma ( p )} } = p \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {p^2 \over n^2} \right) $$
シンク関数のオイラー表現: $$ {{\sin \pi x} \over {\pi x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { n^2}} \right) $$
シンク関数のオイラー表現を用いて式をうまく整理すれば、求めていた公式が得られる。
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