偶関数と奇関数
定義
- $f(-x) = f(x)$を満たす関数$f(x)$を偶関数evenという。
- $f(-x) = -f(x)$を満たす関数$f(x)$を奇関数oddという。
説明
偶関数とは座標平面において$y$軸に対称な関数、奇関数とは原点$O$に対称な関数のことをいう。
例として、三角関数のうち奇関数である$\sin$と偶関数である$\cos$を挙げることができる。$\sin$を微分すると$\cos$に、$\cos$を微分すると$\sin$になる。特に必要なさそうに見えるが、知っておけば関数を正確に知らなくてもよい状況で役に立つ。
導関数
$f$が実数全体で微分可能ならば、次が成り立つ。
- [1] 偶関数の導関数は奇関数である。
- [2] 奇関数の導関数は偶関数である。
導出
$f(x)$を任意の奇関数、$g(x)$を任意の偶関数としよう。
$f(x)=-f(-x)$なので $$ f ' (x)=f ' (-x) $$ $g(x)=g(-x)$なので $$ g ' (x)=-g ' (-x) $$
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系
もう一つ知っておくとよいのは、偶関数$g(x)$の導関数$g ' (x)$は常に$g ' (0)=0$であるということだ。
証明
$$ \begin{align*} & g ' (x)=-g ' (-x) \\ \implies& g ' (0)=-g ' (-0) \\ \implies& 2g ' (0)=0 \\ \implies& g ' (0)=0 \end{align*} $$
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