ベータ関数の三角関数表現
定理
$$ B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right) ^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta $$
説明
それがどんな種類の数学であろうとも、ある関数を別の方法で表現できるということは良いことだ。
証明
$\displaystyle B(p,q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt$において$t = \sin^2 \theta$と置換すると $$ B(p,q) = \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin^2 \theta \right)^{p-1} \left( 1 - \sin^2 \theta \right) ^{q-1} 2 \sin \theta \cos \theta d \theta $$ $1 - \sin^2 \theta = \cos ^2 \theta$であるので $$ B(p,q) = 2 \int_{0}^{{\pi} \over {2}} \left( \sin \theta \right)^{2p-1} \left( \cos \theta \right) ^{2q-1} d \theta $$
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系
特に$\sin \theta = t$としてもう一度置換すると、ルジャンドルの倍数公式を導くための補助定理が得られる。 $$ B(p,q) = 2 \int_{0}^{1} t^{2p-1} \left( 1 - t^2 \right)^{q-1} dt $$