ガンマ関数に対するオイラーの極限公式の導出
公式 1
ガンマ関数$\Gamma : (0, \infty) \to \mathbb{R}$に対して次が成り立つ。 $$ \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} {{n^x n!} \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x+n) }} $$
説明
もともと知っているガンマ関数は積分の形 $$ \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt $$ をしており全く似ていないが、1729年にオイラーが二つの表現が完全に同じであることを証明した。この記事で紹介する導出は元のものより少し略式だが、理解する上で本質的な問題はないだろう。
導出
$\displaystyle \Gamma_{n}(x) := \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$とすると、$\displaystyle e^{-t} = \lim_{n \to \infty } \left( 1 - { t \over n } \right) ^{-n}$なので $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) =& \lim _{n \to \infty} \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt \\ =& \Gamma (x) \end{align*} $$ である。一方、$\displaystyle \Gamma_{n}(x) = \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt$で$u = {t \over n}$と置換すると $$ \begin{align*} \Gamma_{n}(x) =& \int_{0}^{n} t^{x-1} \left( 1 - { t \over n } \right) ^{n} dt \\ =& \int_{0}^{1} (nu) ^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} n du \\ =& n^{x} \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \end{align*} $$ である。部分積分法によって $$ \begin{align*} & \int_{0}^{1} u^{x-1} ( 1 - u ) ^{n} du \\ =& \left[ \left( { 1 \over x} \right) u^x (1-u)^n \right] _{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \left( { 1 \over x} \right) u^x n ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \int_{0}^{1} u^x ( 1 - u ) ^{n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \left( { {n-1} \over {x+1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+1} ( 1 - u ) ^{n-2} du \\ \vdots& \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-2} ( 1 - u ) ^{1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} ( 1 - u ) ^{0} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \int_{0}^{1} u^{x+n-1} du \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left[ {{ 1 } \over { x+n }} u^{x+n} \right]_{0}^{1} \\ =& \left( { n \over x} \right) \cdots \left( { 2 \over {x+n-2}} \right) \left( { 1 \over {x+n-1}} \right) \left( { 1 \over {x+n}} \right) \\ =& { {n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot 1 } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \\ =& { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*} $$ であり、したがって $$ \Gamma_{n}(x) = n^{x} { { n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } $$ を得る。先に$\displaystyle \Gamma (x) = \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x)$であることを示したので、次が成り立つ。 $$ \begin{align*} \Gamma (x) =& \lim_{n \to \infty} \Gamma_{n}(x) \\ =& \lim_{n \to \infty} { { n^{x} n! } \over {x(x+1)(x+2) \cdots (x + n ) } } \end{align*} $$
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