ウォリス積
定理
$$ \prod_{n=1}^{\infty} {{4n^2} \over {4n^2 - 1}} = \lim_{n \to \infty} {{2 \cdot 2 } \over { 1 \cdot 3 } } \cdot {{4 \cdot 4 } \over { 3 \cdot 5 } } \cdot \cdots \cdot {{2n \cdot 2n } \over { (2n-1) \cdot (2n+1) } } = {{ \pi } \over {2}} $$
説明
級数だけでなく積によっても円周率を求められるということは、言うまでもなく不思議で有用な事実である。本来の証明はこれより難しく、実際のところsinc関数のオイラー表現を証明する過程に含まれていると見ることができる。
証明
sinc関数のオイラー表現: $${{\sin x} \over {x}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - {{x^2} \over { \pi^2 n^2}} \right)$$
$\displaystyle x = {{ \pi } \over {2}}$を代入すると $$ {{2} \over {\pi}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - { {1} \over { 4 n^2} } \right) $$ 両辺に逆数を取ると、求めていた式が得られる。
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