凸関数、凹関数
定義
区間 $I \subset \mathbb{R}$ の二つの元 $x_{1} , x_{2}$ と関数 $f : I \to \mathbb{R}$、そして $0 \le t \le 1$ に対して、
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \le t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ のとき、$f$ を $I$における凸関数convex functionとして定義する。
- $f( t x_{1} + (1-t) x_{2}) \ge t f(x_{1}) + (1-t) f(x_{2})$ のとき、$f$ を $I$における凹関数concave functionとして定義する。
説明
凸や凹は上に凸なのか、下に凹なのかといった紛らわしい言い回しが多すぎるため、コンベックス(凸)convexとコンケイブ(凹)concaveを英語表現のまま使おうと思う。グラフの形とコンベックス、コンケイブを対応させて覚えることを強く推奨する。 数式だけを見ると一見馴染みのない定義のように感じられるが、内分の概念を考えてみればかなり常識的な定義として受け入れられるだろう。直観的に難しくない概念であるため、数式的な展開や説明が必要ないなら、あえて定義を覚えておく必要もない。普通は中学校の二次関数から始まって二階導関数の符号など、飽きるほど見ているうちにその性質もまた馴染み深いだろう。
正直に言って
正直ぶっちゃけて言うと、コンケイブも使われず、ただコンベックスだけが使われると考えてよい。
二階導関数
凸関数の二階導関数: $f$ が $I$ で二回微分可能であるとしよう。$f$ が $I$ でコンベックスであることと $f '' (x) \ge 0$ は必要十分条件である。
ここで二回微分可能という条件が追加されたことに注目してみよう。普通は例として $y = x^2$ や $y = \ln {x}$ のような曲線が使われるため、よく分からず見過ごしやすいが、我々が改めて定義した凸関数において「連続」は言及すらされていなかったことが分かる。