数理統計学
統計学専攻者と非専攻者の違いは、実に数理統計学だけである。
断言するが、現代人間社会で統計学が使われない場所はない。科学のどの分野を選んでも、ある境地に達するためには、仮説検定であれ分析技術であれ、統計を学ばなければならない。統計学の門は多くの非専攻者にも大いに開かれており、技術としては―自分の領域Domainではむしろ専攻者よりも親しみやすく使う専門家も多い。
その専門家たちは「統計学」自体を専攻した人々とどのように区別されるだろうか?もちろん専攻者たちは、データのドメインを問わず多くの技術を学び深く学ぶ点、経験的に様々なデータに対する直感が強い点などで説明されるだろうが、最も本質的な違いは数理的な理解のレベルである。
統計学を専攻するということは、いくつかの技術の証明を見て数理的な背景を理解するレベルで終わるわけではない。統計学全体を貫くコンセプトに共感し、広く知られている分布間の関係をよく知り、新しい技術を見てもその原理を素早く把握できる目を養う必要がある。数理統計学はまさにそれを目的とした学問であり訓練であり、統計学全体を支える数学的理論を扱う。
確率論
一変量確率変数
多変量ランダムベクトル
モーメント
確率分布論
数理統計学で学ぶ確率分布論は非常に重要だが、生しらす寿司店ではその規模があまりにも広大になり、数理統計学以上のトピックも扱うため、独立したカテゴリーとして分けられた。
- 特定の分布に従う確率変数の加算の総まとめ
- スチューデントの定理
- 正規分布に従う二つの確率変数が独立であることと共分散が$0$であることは同値である
- スターリング近似公式の数理統計的証明
- デルタメソッド
- 指数族確率分布
- ロケーションファミリー $f (x ; \theta)$
- スケールファミリー $f (x ; \sigma)$
統計的推論
統計量
不偏推定
十分統計
尤度推定
仮説検定
- 仮説検定の定義 $H_{0} \text{ vs } H_{1}$
- 検定力関数 $\beta (\theta)$
- 尤度比検定 LRT
- 不偏検定力関数と最強力検定 UMP
- 単調尤度比 MLR
- 有意確率 $p(\mathbf{X})$
区間推定
ベイズ
主要参考文献
- Casella. (2001). Statistical Inference(2nd Edition)
- Hogg et al. (2013). Introduction to Mathematical Statistics(7th Edition)
- 김달호. (2013). R과 WinBUGS를 이용한 베이지안 통계학
全體ポスト
- ベイズの定理の証明と事前分布、事後分布
- 特定の分布に従う確率変数の加算の総括
- 標本標準偏差と標準誤差の区別
- モンテカルロ法とブートストラップの違い
- ベイズの定理を通して見るモンティ・ホールのジレンマ
- ベイジアン・パラダイム
- ラプラスの後継法則
- 共役事前分布
- ラプラス事前分布
- ジェフリーズ事前分布
- 統計学の三つの代表値:最頻値、中央値、平均
- 信頼区間
- 信用区間と信頼区間の違い
- 最高事後密度信頼区間
- ベイズ因子を通じた仮説検定
- 数理統計学における確率と確率の加法定理
- 数理統計学における確率変数と確率分布
- 数理統計学における期待値、平均、分散、モーメントの定義
- 代表値の数理的性質の証明
- 平均と分散の性質들
- 共分散の様々な性質
- ピアソン相関係数
- 数理統計学における歪度
- 数理統計学における尖度
- 積率母関数とは何か?
- n次のモーメントが存在する場合、nより小さい次数のモーメントも存在する
- 数理統計学における多変量確率分布
- 多変量確率変数の変換
- 数理統計学における条件付き確率分布
- 数理統計学における確率変数の独立
- 確率変数の独立性とiid
- バーンスタイン分布:対の独立は相互独立を意味しない
- 二つの正規分布に従う確率変数が独立であることと共分散が0であることは等価である
- 確率変数の線形結合
- 数理統計学におけるランダムサンプリング
- 数理統計学における統計量と推定量
- 信頼区間の簡単な定義
- 数理統計学における便宜
- 便宜性-分散トレードオフ
- 不偏推定量
- 標本分散をn-1で割る理由
- 順序統計量
- 数理統計学における確率収束
- 数理統計学における分布収束
- 数理統計学における確率の境界
- 確率収束は分布収束を意味する
- 分布の収束は確率の境界を意味する
- 弱い大数の法則の証明
- 中心極限定理の証明
- 共分散行列
- 多変量確率変数の確率収束
- 多変量確率変数の分布収束
- スチューデントのt検定の証明
- 一致推定量
- 最尤推定量
- 数理統計学における正則性条件
- フィッシャー情報
- バートレットの同一性
- ラオ-ブラックウェル-コルモゴロフ定理
- 効率的な推定量
- 十分統計量
- ノイマン因数分解定理の証明
- ラオ・ブラックウェルの定理の証明
- 関数形の確率変数の和の期待値
- 確率密度関数の畳み込み公式
- 指数族の確率分布
- スターリングの公式の統計的証明
- 数理統計学におけるデルタ法
- 尤度関数の定義
- 最小十分統計量
- 補助統計量
- ロケーションファミリー
- スケールファミリー
- 十分統計量
- ベズーの定理の証明
- モーメント法
- 指数族確率分布の完全統計量
- 最小十分統計量が与えられた偏りのない推定量の分散は最小化される
- ロケーション-スケール族の補助統計量
- サタスウェイトの近似
- 最尤推定量の不変性の証明
- 不偏推定量とクラメール・ラオの限界
- 最良不偏推定量、最小分散不偏推定量 UMVUE
- 最小分散不偏推定量の一意性
- レマン-シェップの定理の証明
- 唯一の最尤推定量は十分統計量に依存する
- ランダムサンプルの標本平均の平均と分散
- 数理統計的な仮説検定の定義
- ロケーションファミリーの十分統計量と最尤推定量
- 数理統計学における尤度比検定の定義
- 十分統計量を含む尤度比検定
- 仮説検定の検定力関数
- 不便検定力関数と最強力検定
- 一変量確率変数のサンプリング方法
- ネイマン-ピアソン補助定理の証明
- 単調確率の定義
- カリン-ルビン定理の証明
- 十分統計量を含む最強力検定
- 数理統計的な有意確率の定義
- 区間推定量
- 数理統計的な信頼集合の定義
- 数理統計学におけるピボットの定義
- 仮説検定と信頼集合の一対一対応関係
- 最も正確な信頼集合
- 確率的増減関数と信頼区間
- ユニモーダル分布の最短信頼区間
- 標準誤差の一般的な定義
- 加重平均の定義
- 合同共分散の定義
- 条件付き期待値は偏差の二乗和を最小化する
- ランダムベクトルの期待値
- 数理統計学における主成分分析(PCA)