📂数理統計学

特定の分布に従う確率変数の加法総まとめ

定理

確率変数$X_{1} , \cdots , X_{n}$が相互独立であるとしよう。

• [1] 二項分布: $X_i \sim \text{Bin} ( n_{i}, p)$ならば $$ \sum_{i=1}^{m} X_{i} \sim \text{Bin} \left( \sum_{i=1}^{m} n_{i} , p \right) $$
• [2] ポアソン分布: $X_i \sim \text{Poi}( m_{i} )$ならば $$ \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim \text{Poi} \left( \sum_{i=1}^{n} m_{i} \right) $$
• [3] ガンマ分布: $X_i \sim \Gamma ( k_{i}, \theta)$ならば $$ \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^{n} k_{i} , \theta \right) $$
• [4] カイ二乗分布: $X_i \sim \chi^2 ( r_{i} )$ならば $$ \sum_{i=1}^{n} X_{i} \sim \chi ^2 \left( \sum_{i=1}^{n} r_{i} \right) $$
• [5] 正規分布: $X_i \sim N( \mu_{i}, \sigma_{i}^{2} )$ならば、与えられたベクトル$(a_{1} , \cdots , a_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$に対して $$ \sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i} \sim N \left( \sum_{i=1}^{n} a_{i } \mu_{i} , \sum_{i=1}^{n} a_{i }^2 \sigma_{i}^2 \right) $$

証明

戦略: 積率母関数で導出する。確率変数が相互独立であるという条件は、次の定理を使うために必須である。

$X_{1} , \cdots , X_{n}$が相互独立であり、それぞれの積率母関数が$M_{i}(t) \qquad , -h_{i} < t < h_{i}$ならば、その線形結合$\displaystyle T := \sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}$の積率母関数$M_{T}$は $$ M_{T} (t) = \prod_{i=1}^{n} M_{i} \left( a_{i} t \right) \qquad , -\text{min}_{i=1, \cdots, n}^{n} h_{i} < t < \text{min}_{i=1, \cdots, n} h_{i} $$

[1]¹

二項分布の積率母関数: $$ m(t) = \left[ (1-p) + pe^{t} \right]^{n} \qquad , t \in \mathbb{R} $$

$\displaystyle Y := \sum_{i=1}^{m} X_{i}$と置くと、$X_{1} , \cdots , X_{m}$が相互独立なので $$ \begin{align*} M_{Y} (t) =& M_{1} (t) \cdots M_{m} (t) \\ =& \left[ (1-p) + pe^{t} \right]^{n_{1}} \cdots \left[ (1-p) + pe^{t} \right]^{n_{m}} \\ =& \left[ (1-p) + pe^{t} \right]^{\sum_{i=1}^{m} n_{i}} \end{align*} $$ したがって $$ Y \sim \text{Bin} \left( \sum_{i=1}^{m} n_{i} , p \right) $$

■

[2]²

ポアソン分布の積率母関数: $$ m(t) = \exp \left[ \lambda \left( e^{t} - 1 \right) \right] \qquad , t \in \mathbb{R} $$

$\displaystyle Y := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$と置くと、$X_{1} , \cdots , X_{n}$が相互独立なので $$ \begin{align*} M_{Y} (t) =& M_{1} (t) \cdots M_{n} (t) \\ =& \exp \left[ m_{1} \left( e^{t} - 1 \right) \right] \cdots \exp \left[ m_{n} \left( e^{t} - 1 \right) \right] \\ =& \exp \left[ \sum_{i=1}^{n} m_{i} \left( e^{t} - 1 \right) \right] \end{align*} $$ したがって $$ Y \sim \text{Poi} \left( \sum_{i=1}^{m} m_{i} \right) $$

■

[3]³

ガンマ分布の積率母関数: $$ m(t) = \left( 1 - \theta t\right)^{-k} \qquad , t < {{ 1 } \over { \theta }} $$

$\displaystyle Y := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$と置くと、$X_{1} , \cdots , X_{n}$が相互独立なので $$ \begin{align*} M_{Y} (t) =& M_{1} (t) \cdots M_{n} (t) \\ =& \left( 1 - \theta t\right)^{-k_{1}} \cdots \left( 1 - \theta t\right)^{-k_{n}} \\ =& \left( 1 - \theta t\right)^{-\sum_{i=1}^{n} k_{i}} \end{align*} $$ したがって $$ Y \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^{n} k_{i} , \theta \right) $$

■

[4]⁴

ガンマ分布とカイ二乗分布の関係: $$ \Gamma \left( { r \over 2 } , 2 \right) \iff \chi ^2 (r) $$

$\displaystyle Y := \sum_{i=1}^{n} X_{i}$とし、$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} k_{i} := {{ r_{i} } \over { 2 }}$そして$\theta := 2$と置くと、定理[3]により $$ Y \sim \Gamma \left( \sum_{i=1}^{n} {{ r_{i} } \over { 2 }} , 2 \right) $$

■

[5]⁵

正規分布の積率母関数: $$ m(t) = \exp \left( \mu t + {{ \sigma^{2} t^{2} } \over { 2 }} \right) \qquad , t \in \mathbb{R} $$

$\displaystyle Y := \sum_{i=1}^{n} a_{i} X_{i}$と置くと、$X_{1} , \cdots , X_{n}$が相互独立なので $$ \begin{align*} M_{Y} =& M_{1} (t) \cdots M_{n} (t) \\ =& \prod_{i=1}^{n} \exp \left[ t a_{i} \mu_{i} + {{ t^{2} a_{i}^{2} \sigma_{i}^{2} } \over { 2 }} \right] \\ =& \exp \left[ t \sum_{i=1}^{n} a_{i} \mu_{i} + {{ t^{2} \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \sigma_{i}^{2} } \over { 2 }} \right] \end{align*} $$ したがって $$ Y \sim N \left( \sum_{i=1}^{n} a_{i } \mu_{i} , \sum_{i=1}^{n} a_{i }^2 \sigma_{i}^2 \right) $$

■

注意

注意すべきことは、実は確率変数の加法という言葉は存在しないということである。正確には確率変数の線形結合の中でも特殊な場合を指す。当然ながら、iidというより強い条件が与えられれば、その分布をさらに容易に求めることができる。