n次の積率が存在すれば次数がnより小さい積率も存在する
定理
確率変数$X$と自然数$n$について$E( X^n )$が存在すれば、$E( X^m ), m=1,2,3,\cdots, n$も存在する。
説明
ある次数の積率が存在しさえすれば、それより小さい次数の積率は常に存在するが、当然ながら逆は成り立たない。もちろん実際に問題に接してみると、高い次数の積率が先に与えられる場合はほとんどないが、ある定理の条件を列挙する際に紙面をかなり節約できるようにしてくれる定理ではある。
証明
戦略：確率変数の絶対値を経由して大小関係を示した後、もともと示そうとしていた不等式に戻る。本証明は連続確率分布についてのものであるが、同じ方法で離散確率分布についても証明が可能である。
確率変数$X$の確率密度関数を$f$としよう。
Part 1. $E \left( X^{n} \right) < \infty \implies E \left( |X|^{n} \right) < \infty$
$E \left( |X|^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \infty$と仮定すると $$ \int_{0}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \infty $$ あるいは $$ \int_{-\infty}^{0} |x|^{n} f(x) dx= \infty $$ 一方で$\begin{cases} \displaystyle \int_{0}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx= \int_{0}^{\infty} x^{n} f(x) dx \\ \displaystyle \int_{-\infty}^{0} |x|^{n} f(x) dx = (-1)^{n} \int_{-\infty}^{0} x^{n} f(x) dx \end{cases}$であるから $$ E \left( X^{n} \right) = \int_{-\infty}^{\infty} x^{n} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x^{n} f(x) dx - \int_{-\infty}^{0} x^{n} f(x) dx = \infty $$
Part 2. $E \left( |X|^{n} \right) < \infty \implies E \left( |X|^{m} \right) < \infty$
$$ \begin{align*} E \left( |X|^{m} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{m} f(x) dx \\ =& \int_{|x|<1} |x|^{m} f(x) dx + \int_{|x|>1} |x|^{m} f(x) dx \\ \le & \int_{|x|<1} f(x) dx + \int_{|x|>1} |x|^{n} f(x) dx \\ \le & \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx + \int_{-\infty}^{\infty} |x|^{n} f(x) dx \\ \le & 1 + E \left( |X|^{n} \right) \\ <& \infty \end{align*} $$
Part 3. $E \left( |X|^{m} \right) < \infty \implies E \left( X^{m} \right) < \infty$
$$ \begin{align*} E \left( X^{m} \right) =& \int_{-\infty}^{\infty} x^{m} f(x) dx \\ \le & \left| \int_{-\infty}^{\infty} x^{m} f(x) dx \right| \\ \le & \int_{-\infty}^{\infty} | x | ^{m} f(x) dx \\ =& E \left( |X|^{m} \right) \\ <& \infty \end{align*} $$ Part 1. からPart 3. までをまとめると、$E \left( X^{n} \right) < \infty \implies E \left( X^{m} \right) < \infty$を得る。
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