正規分布に従う二つの確率変数が独立であることと共分散が0であることは同値である
定理
$$ X_{1} \sim N ( \mu_{1} , \sigma_{1} ) \\ X_{2} \sim N ( \mu_{2} , \sigma_{2} ) $$ ならば $$ X_{1} \perp X_{2} \iff \text{cov} (X_{1} , X_{2} ) = 0 $$
説明
一般に相関がないからといって独立であるとは限らない。しかし分布が正規分布に従うという仮定があれば、共分散が$0$であることが独立であることを保証する。
証明
$( \implies )$
$$ M_{X_{1}} (t_{1} ) = \exp \left[ \mu_{1} t_{1} + {{1} \over {2}} \sigma_{1} t_{1}^{2} \right] M_{X_{2}} (t_{2} ) = \exp \left[ \mu_{2} t_{2} + {{1} \over {2}} \sigma_{2} t_{2}^{2} \right] $$ $\sigma_{12} : = \text{cov} (X_{1} , X_{2} )$および$\sigma_{21} : = \text{cov} (X_{2} , X_{1} )$とすると $$ M_{X_{1} , X_{2}} (t_{1} , t_{2} ) = \exp \left[ \mu_{1} t_{1} + \mu_{2} t_{2} + {{1} \over {2}} \left( \sigma_{1} t_{1}^{2} + \sigma_{12} t_{1} t_{2} + \sigma_{21} t_{2} t_{1} + \sigma_{2} t_{2}^{2} \right) \right] $$ $X_{1} \perp X_{2}$であるから$M_{X_{1} , X_{2}} (t_{1} , t_{2} ) = M_{X_{1}} (t_{1} ) M_{X_{2}} ( t_{2} ) $である。したがって $$ \begin{align*} & \exp \left[ \mu_{1} t_{1} + \mu_{2} t_{2} + {{1} \over {2}} \left( \sigma_{1} t_{1}^{2} + \sigma_{12} t_{1} t_{2} + \sigma_{21} t_{2} t_{1} + \sigma_{2} t_{2}^{2} \right) \right] \\ =& \exp \left[ \mu_{1} t_{1} + \mu_{2} t_{2} + {{1} \over {2}} \left( \sigma_{1} t_{1}^{2} + \sigma_{2} t_{2}^{2} \right) \right] \end{align*} $$ となり、整理すると$\sigma_{12} + \sigma_{21} = 0$を得る。一方$\text{cov} (X_{1}, X_{2}) = \text{cov} (X_{2}, X_{1})$であるから$\sigma_{12} = \sigma_{21}$であり、連立方程式$\begin{cases} \sigma_{12} + \sigma_{21} = 0 \\ \sigma_{12} - \sigma_{21} = 0 \end{cases}$を満たす解は$\sigma_{12} = \sigma_{21} = 0$のみである。
$( \impliedby )$
$\sigma_{12} = \sigma_{21} = 0$であるから $$ \sigma_{12} t_{1} t_{2} = \sigma_{21} t_{2} t_{1} = 0 $$ したがって $$ M_{X_{1} , X_{2}} (t_{1} , t_{2} ) = M_{X_{1}} (t_{1} ) M_{X_{2}} ( t_{2} ) $$ であり、結合積率母関数が分離できることは独立であることと同値であるから$X_{1} \perp X_{2}$である。
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