📂数理統計学

積率母関数とは？

定義 ¹

確率変数$X$とある正数$h>0$に対して$E(e^{tX})$が$-h< t < h$で存在するならば、$M(t) = E( e^{tX} )$を$X$の積率母関数^{moment Generating function}と定義する。

説明

積率母関数はしばしばmgfという略語でよく使われる。数理統計学では比較的初期に学ぶが、なじみのない定義と文脈のない登場のせいで、数理統計学を嫌いにさせる主犯の一つである。積率母関数を理解するのが難しいのは、たいてい教材の構成上、いきなり定義から与えてすぐに使ってしまうからである。読者の立場では積率母関数の定義を知るだけで、これがなぜこのような形なのか、なぜ使うのか全く分からないのに例題が押し寄せるので、より難しくなるほかない。基本的に積率母関数という語は積率と母関数をつなぎ合わせて作った言葉である。最も良いのはリンクをたどって積率と母関数を両方読んでみることだが、忙しい読者のために要点だけまとめると次のとおりである:

1. 積率が何なのか理解する必要はない: 基本的に積率は平均や分散などを包括する抽象的な概念である。積率は次数に応じて適切な操作を経て意味のある統計量になりうるが、それ自体では統計的な意味を持たない。無理にある統計量と結びつけようとせず、積率そのものとして知っておけば十分である。
2. 積率母関数は単に母関数の一種である: 母関数は多項関数を一般的な形で表したものにすぎない。「積率母関数は積率を生成してくれる関数」という説明も悪くはないが、積率母関数が母関数の一つとして係数を積率として持つとだけ知っておいても、その性質をより正確に理解できる。

積率母関数をマクローリン展開で解き明かすと次のとおりである。[ NOTE: 定義で$t$の半径を$-h<t<h$と取らねばならない理由がこれである。 ] $$ \begin{align*} M(t) =& E(e^{tX}) \\ =& 1 + E(tX) + {{E(t^2 X^2)} \over {2!}} + \cdots \end{align*} $$ 期待値は線形性を持つので、以下のように$t$に対する母関数として表現できる。 $$ M(t) = 1 + E(X) t+ {{E( X^2) t^2 } \over {2!}} + \cdots $$ $t^k$項の係数は$k$次積率の定数倍である$\displaystyle {{E(X^{k})} \over {k!}} $であるという事実に注目しよう。ここで両辺を$t$に対して$n$回微分し$t=0$を代入すると $$ M^{(n)} (0) = E(X^{n}) $$ したがって関数$M$は積率を生成すると言え、このような理由から積率母関数と呼ばれると見なして差し支えない。$M$が定義でただちに$M(t) = E( e^{tX} )$として与えられなかったり、母関数についての言及だけがあったりしても、はるかに理解しやすかっただろう。

一方、確率変数$X$と$Y$に対する積率母関数$M_{X}$と$M_{Y}$が互いに等しいと考えてみよう。積率は我々が統計学で究極的に知りたい統計量を求めるために考案された概念である。そしてすべての項ごとにこれらの積率が互いに等しいならば、その$X$と$Y$は同じ分布に従うと言えるだろう。次の定理により、積率母関数が存在する分布同士であれば、積率母関数そのものを分布と同じ概念と考えて比較しても差し支えない。実際、分布関数は積分によって確率を表すのには便利なだけで、分布自体を扱うのにはあまり良くない。代わりに積率母関数がこのような性質を持つおかげで、ある確率変数がどの分布に従うのかを数式的に論じる際に最も頻繁に使われる。

定理

$X$、$Y$がそれぞれ積率母関数$M_{X}$、$M_{Y}$と累積分布関数$F_{X}$、$F_{Y}$を持つ確率変数であるとしよう。すべての$ z \in \mathbb{R}$に対して$F_{X} (z) = F_{Y}(z)$であることと、ある$h>0$とすべての$t \in (-h,h)$に対して$M_{X}(t) = M_{Y}(t)$であることは同値である。

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• $\mathbb{R}$は実数の集合を意味する。