信用区間と信頼区間の違い
要約
信用区間と信頼区間の違いは、まさにベイジアンとフリークエンティストの違いだと言える。
- 信頼区間(フリークエンティスト): 母数は固定された定数であり、信頼区間がランダムに求められる。
- 信用区間(ベイジアン): 母数も分布を持つ変数であり、信用区間も事後分布から求められる。
信頼区間
古典統計学において、母数$\mu$に対する$95 \% $信頼区間 $[a , b]$が意味するのは、同じ方法で作られた信頼区間が$100$個あるとすれば、そのうち$95$個ほどが$\mu \in [a,b]$を満たすということだ。式で簡単に表せば$p ( \mu \in [a,b] ) = 95 \% $だが、常識に反してその解釈は非常に難解だ。確かに同じ式ではあるが、これは次のように異なるニュアンスで読むことができる。
- $\mu$が$[a,b]$に含まれる確率が$95 \% $だ。(X)
- $[a,b]$が$\mu$を含む確率が$95 \% $だ。(O)
もちろん上の二つの文は同じことを言っているが、読む者は言葉そのものではなくニュアンスの違いを感じ取れなければならない。言い換えれば、$\mu$が信頼区間 $[a , b]$にある確率が$95 \% $なのではなく、信頼区間を作る過程に従えば、$n$個の$95 \% $信頼区間 $[a , b]$のうち$\mu$を含む信頼区間が全体の$95 \% $ほど存在するということだ。
私たちが知りたい母数$\mu$自体は分布のわからない定数であり、その代わり信頼区間の上限と下限である$a,b$はその分布がわかるため、$a < \mu$かつ$ \mu < b$である場合を考えられるのである。この微妙な違いのために、信頼区間は私たちの直感と正確には一致しない。そのため、これほど常識的で簡単な概念を説明するのにも、いくつか作ればそのうちいくつかは含むだの含まないだのという煩わしい説明が伴う。
そもそも$\mu$を基準に置いて見れば、$\mu$に対して何の分布も定義されたことがないため、$p ( \mu \in [a,b] )$という表現自体が成り立たない。誰かがいきなり$X$の分布も教えずに$P \left( 0 \le X \le 2 \right)$の値がいくつかと尋ねてきたら少なからず戸惑うだろうが、信頼区間に対する誤った解釈はまさにこれと同じだ。
フリークエンティストの観点では、母数$\mu$は固定された定数として存在し、標本によって変わるのは信頼区間そのものだ。今の標本が母集団と似ているだろうと仮定するのと同じように、一つの信頼区間を作っては、この信頼区間がまだ作っていない残りの信頼区間と似ているだろうと見なすのである。
信用区間
母数空間$\Theta$の部分集合$C \subset \Theta$が有意水準 $\alpha$に対して$P ( \theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$を満たすとき、$C$をデータ$y$が与えられたときの$\theta$に対する$100(1 - \alpha) \% $信用区間という。
一方、信用区間はそもそも定義からして$\theta$に対する確率として表現される。それが可能な理由は、母数 $\theta$に対して事後分布$p ( \theta | y)$をきちんと仮定するからだ。これは統計学を学ぶ学生たちが概念的に受け入れてきた信頼/信用区間の定義と直感的に合致する。
ベイジアンはまだ得ていない標本のことなど気にしない。事後分布に対する仮定と、これまでに得た標本だけを見て最善の答えを出しただけだ。したがって、信用区間を$100$個作ったなら、そのうち$95 \% $ほどは母数 $\theta$が$C$に属するといった煩雑な説明は必要ない。