📂フーリエ解析

리만적분가능한 함수의 푸리에 급수는 수렴한다

定理¹

関数 $f$ が区間 $[-L,\ L)$ で リーマン可積分 であるとしよう。すると 連続 な点 $t$ に対して $f$ の フーリエ級数 $\lim \limits_{N \to \infty }S^{f}_{N}(t)$ は $f(t)$ に収束する。

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)=f(t) $$

このとき

$$ \begin{align*} S^{f}_{N}(t)&=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n}&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$

証明

戦略: $\left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0$ であることを示して証明を終える。

フーリエ級数とディリクレ核の関係

$$ S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$

以上の事実から次の式を得る。

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \end{equation} $$

ディリクレ核の積分

$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx=1 $$

上の式の両辺に $f(t)$ を掛けると次の式を得る。

$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = f(t) $$

これを $(1)$ に代入して整理すると次の通りだ。

$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \Big[ f(x)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \end{align*} $$

ここで $x-t=\lambda$ に置換すると次のようになる。

$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \Big[ f(\lambda+t)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right)d\lambda \end{equation} $$

$f(x)$ は $t$ で連続であるから、定義 により、$s,t\in [-L,\ L)$、$\varepsilon >0$ に対して次を満たす $\delta>0$ が存在する。

$$ \begin{equation} \exists \delta>0\quad \text{s.t. } \left| s-t \right|<\delta \implies \left| f(s)-f(t) \right| <\varepsilon \end{equation} $$

ディリクレ核はディラックのデルタ関数に収束する $$ \lim \limits_{n \to \infty} D_{n}(t)=\delta (t) $$

また上の事実により、固定した正数 $\delta>0$ に対して $|x|>\delta$ かつ $N \gt n$ のとき $\left| D_{N}\left( \dfrac{\pi x}{L} \right) \right| \lt \varepsilon$ となる自然数 $n$ が存在する。

$$ \begin{equation} \exists n\in \mathbb{N}\quad \text{s.t. } \left| x \right| > \delta,\ N>n \implies \left| D_{N} \left( \frac{\pi x}{L} \right) \right| < \varepsilon \end{equation} $$

固定した $t \in [-L, L)$ に対して、$|f(t)| < M$ を満たす実数 $M$ が存在する。

$$ \begin{equation} \exists M\quad \text{s.t. } \left| f(t) \right| <M \end{equation} $$

さて $(2)$ の積分区間を分けると下の不等式を得る。

$$ \begin{align*} &| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t)| \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left| \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right)d\lambda \right| \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| \right] \end{align*} $$

ここで第一項には $(3)$ の条件を用い、第二項には $(4)$、$(5)$ の条件を用いると次のようになる。

$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] } D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} {\color{blue} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right]} {\color{orange}D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) } d\lambda \right| \right] \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \epsilon} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| + {\color{blue}2M} {\color{orange}\epsilon} \right] \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{\epsilon}{L} \left( \left|\int_{-\delta}^{\delta} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +2M \right) \\ &= \varepsilon^{\prime} \end{align*} $$

上の式はすべての $\varepsilon >0$ に対して成り立つので、すべての $\varepsilon^{\prime}>0$ に対して成り立つことと同じである。したがって次の式を得る。

$$ \left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0 $$

したがって $f$ のフーリエ級数は連続な点 $t$ において $f$ に収束する。

$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) = \dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) = f(t) $$

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