リーマン積分可能な関数のフーリエ級数は収束する
定理[^1]
関数 $f$が区間 $[-L,\ L)$でリーマン積分可能とする。それでは、連続点 $t$において、$f$のフーリエ級数 $\lim \limits_{N \to \infty }S^{f}_{N}(t)$は $f(t)$に収束する。
$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)=f(t) $$
この時
$$ \begin{align*} S^{f}_{N}(t)&=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum \limits_{n=1}^{N} \left( a_{n} \cos \dfrac{n\pi t}{L} + b_{n}\sin\dfrac{n\pi t} {L} \right) \\ a_{0} &=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)dt \\ a_{n} &= \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t)\cos\dfrac{n\pi t}{L} dt \\ b_{n}&=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\dfrac{n\pi t}{L}dt \end{align*} $$
証明
ストラテジー： $\left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0$を示すことにより証明を終える。
$$ S^{f}_{N}(t)=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)D_{N}\left(\dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx $$
上記の事実から、次の式を得る。
$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \end{equation} $$
$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx=1 $$
上記の式の両辺に $f(t)$を掛けると、次の式が得られる。
$$ \dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L} \right)dx = f(t) $$
これを $(1)$に代入して整理すると、次のようになる。
$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -f(t) \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx -\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(t) D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \Big[ f(x)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi (x-t)}{L}\right)dx \end{align*} $$
ここで、$x-t=\lambda$で置き換えると、次のようになる。
$$ \begin{equation} \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \Big[ f(\lambda+t)-f(t) \Big] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L} \right)d\lambda \end{equation} $$
$f(x)$が $t$で連続であるため、定義により、$s,t\in [-L,\ L)$、$\varepsilon >0$に対して次を満たす $\delta>0$が存在する。
$$ \begin{equation} \exists \delta>0\quad \text{s.t. } \left| s-t \right|<\delta \implies \left| f(s)-f(t) \right| <\varepsilon \end{equation} $$
ディリクレ核はディラックデルタ関数に収束する $$ \lim \limits_{n \to \infty} D_{n}(t)=\delta (t) $$
そして、上記の事実により、固定された正の数 $\delta>0$に対し、$|x|>\delta$かつ$N \gt n$の時、$\left| D_{N}\left( \dfrac{\pi x}{L} \right) \right| \lt \varepsilon$となる自然数 $n$が存在する。
$$ \begin{equation} \exists n\in \mathbb{N}\quad \text{s.t. } \left| x \right| > \delta,\ N>n \implies \left| D_{N} \left( \frac{\pi x}{L} \right) \right| < \varepsilon \end{equation} $$
また、$f(x)$がリーマン積分可能だと仮定されているので、有界である。従って、$|f(t)| < M$を満たす実数 $M$が存在する。
$$ \begin{equation} \exists M\quad \text{s.t. } \left| f(t) \right| <M \end{equation} $$
今、$(2)$の積分範囲を分割すると、以下の不等式が得られる。
$$ \begin{align*} &| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t)| \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \left| \dfrac{1}{L} \int_{-L-t}^{L-t} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right)d\lambda \right| \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| \right] \end{align*} $$
ここで、最初の項に $(3)$の条件を使い、2番目の項に $(4)$、$(5)$の条件を使うと、次のようになる。
$$ \begin{align*} &\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right] } D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +\left| \int_{\lambda \notin[-\delta,\delta]} {\color{blue} \left[ f(\lambda+t)-f(t) \right]} {\color{orange}D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) } d\lambda \right| \right] \\ &\le \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{1}{L} \left[ \left|\int_{-\delta}^{\delta} {\color{red} \epsilon} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| + {\color{blue}2M} {\color{orange}\epsilon} \right] \\ &= \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \dfrac{\epsilon}{L} \left( \left|\int_{-\delta}^{\delta} D_{N}\left( \dfrac{\pi \lambda}{L}\right) d\lambda \right| +2M \right) \\ &= \varepsilon^{\prime} \end{align*} $$
上記の式は、全ての $\varepsilon >0$に対して成立しなければならないので、全ての $\varepsilon^{\prime}>0$に対しても成立する必要がある。従って、次の式を得る。
$$ \left| \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t)-f(t) \right|=0 $$
したがって、$f$のフーリエ級数は、連続点 $t$で $f$に収束する。
$$ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} S^{f}_{N}(t) = \dfrac{1}{2}a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left( a_{n}\cos\dfrac{n\pi t}{L}+b_{n}\sin\dfrac{n\pi t}{L} \right) = f(t) $$
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