📂数理統計学

確率収束すれば分布収束する

定理¹

確率変数$X$と確率変数のシーケンス$\left\{ X_{n} \right\}$に対して $$ X_{n} \overset{P}{\to} X \implies X_{n} \overset{D}{\to} X $$

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• $\overset{P}{\to}$は確率収束を意味する。
• $\overset{D}{\to}$は分布収束を意味する。

説明

直感的な言葉で言い換えると、分布だけが収束することは正確に収束することよりはるかに易しいということだ。確率変数というもの自体を関数として正確に理解しているなら、受け入れるのは難しくないだろう。

証明

戦略: 事象を二つに分けて不等式を立てるトリックが使われるが、この分野を勉強するならよく目にすることになるので、難しくても慣れようと努力してみることを勧める。初めて見れば元々難しいものだから、理解できなくても挫折せず、何度も読みながら理解するようにしよう。

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任意の正数$\epsilon > 0$に対して $$ \begin{align*} F_{X_{n}}(x) =& P[X_{n} \le x] \\ =& P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | < \epsilon \right\} ] +P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \end{align*} $$ ここで第一項$P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | < \epsilon \right\} ]$をよく見てみると $$ \begin{align*} & |X_{n}-X|<\epsilon \\ \implies& X<X_{n} + \epsilon \\ \implies& X<X_{n} + \epsilon \le x+ \epsilon \\ \implies& X< x+ \epsilon \end{align*} $$ 一方、第二項については $$ P[ \left\{ X_{n} \le x \right\} \cap \left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \le P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] $$ であるから、整理すると $$ \begin{align*} F_{X_{n}}(x) \le & P[X \le x + \epsilon] + P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \\ =& F_{X}(x+\epsilon) + P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\} ] \end{align*} $$ 両辺に極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$を取ると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} P[\left\{ | X_{n} - X | \ge \epsilon \right\}=0$なので $$ \limsup _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le F_{X}(x+\epsilon) $$ こうして上界(upper bound)を求めたので、同じ方法で下界(lower bound)を求めると $$ F_{X}(x-\epsilon) \le \liminf _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le \limsup _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) \le F_{X}(x+\epsilon) $$ $\epsilon$は任意の正数としたので、$\epsilon \to 0$のとき$F_{X}$が連続なすべての点$x \in C_{F_{X}}$で $$ \lim _{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) = F_{X}(x) $$ のように点別収束し、したがって$X_{n}$は$X$に分布収束する。

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