伊藤の公式
📂確率微分方程式伊藤の公式
定理
イットウ過程 {Xt}t≥0 が与えられているとする。
dXt=udt+vdWt
関数 V(t,Xt)=V∈C2([0,∞)×R) に対して Yt:=V(t,Xt) としよう。すると {Yt} もまたイットウ過程であり、次が成り立つ。
dYt==Vtdt+VxdXt+21Vxx(dXt)2(Vt+Vxu+21Vxxv2)dt+VxvdWt
- C2 は二度微分可能で、その導関数が連続である関数のクラスだ。
- Vt=∂t∂V、Vx=∂Xt∂V、Vxx=∂Xt2∂2V である。
- (dXt)2=dXt⋅dXt は次のイットウ乗算テーブルに従って計算される。
(dt)2=dtdWt=dWtdt=(dWt)2=000dt
したがって、
(dXt)2====(udt+vdWt)(udt+vdWt)u2(dt)2+2uvdtdWt+v2(dWt)2u2⋅0+2⋅0+v2dtv2dt
を得る。
説明
イットウ公式は、イットウ補題またはイットウ連鎖則とも呼ばれ、確率微分方程式全般で非常に重要に使われる定理である。ほとんどすべての計算で日常的に登場するため、連鎖則と呼ばれる価値は十分にある。
証明はここでは省略されるが、ただ多変数テーラー定理を適用して、高次の項を無視する方法で行われる。
例
ウィーナー過程でウィーナー過程を積分することは直感的に理解しにくい。形式的にはリーマン積分を思い浮かべた常識通り∫0tWsdWs=21Wt2 のような結果が自然と思われるが、実際に計算してみよう。
イットウ公式を使う前に、与えられたイットウ過程を u=0、v=1 として
dXt=0dt+1dWt
のようにセットすると Xt=Wt である。ここで、Yt:=V(t,Xt)=2Xt2 とすると
Vt=Vx=Vxx=∂t∂(21Wt2)=0∂Wt∂(21Wt2)=Wt∂Wt2∂2(21Wt2)=∂Wt∂Wt=1
であるため、u=0、v=1 から
d(2Wt2)===(Vt+Vxu+21Vxxv2)dt+VxvdWt(0+Wt⋅0+21⋅1⋅12)dt+Wt⋅1⋅dWt21dt+WtdWt
微分形を積分形に変えると
2Wt2=21t+∫0tWsdWs
を整理すると、次を得る。
∫0tWsdWs=21(Wt2−t)
一見すると、リーマン積分にはなかった1巻く −t/2 が生じ、ごちゃごちゃして不便に見えるかもしれない。しかし、ここで期待値を取ると考えると
t=Var(Wt)=E(Wt2)−02
よって、
E(∫0tWsdWs)=21(t−t)=0
のようにきれいに消えることが確認できる。1項は単に計算方法の違いで生じるゴミ項ではなく、それなりの意味があるものだ。ウィーナー過程をウィーナー過程で積分したときの期待値は0 になるべきで、それに同意するなら、上の結論を直感的に受け入れることができるだろう。
確率積分
a<b であり、c は定数で、t>0 としよう。
∫0tdWs=∫abcdWs=Wtc[Wb−Wa]
上記の2つのケースは通常のリーマン積分と同じ結果を出すが、次はイットウ積分特有の結果を出す。
∫0tWsdWs=∫abWsdWs=∫0tsdWs=∫0tWs2dWs=∫0teWsdWs=∫0tWteWsdWs=∫0tsWsdWs=∫0t(Ws2−s)dWs=∫0te−s/2+WsdWs=∫0tsinWsdWs=∫0tcosWsdWs=21Wt2−21t21[Wb2−Wa2]−21(b−a)tWt−∫0tWsds=(t−1)Wt31Wt3−∫0tWsdseWt−1−21∫0teWsds1+WteWt−eWt−21∫0teWs(1+Ws)dWs2t(Wt2−2t)−21∫0tWs2ds31Wt3−tWte−t/2+Wt−11−cosWt−21∫0tcosWsdssinWt+21∫0tsinWsds
特に期待値と分散に関しては、次の等式が知られている。
E(∫0tdWs)=E(∫0tWsdWs)=Var(∫0tWsdWs)=002t2