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伊藤の公式 📂確率微分方程式

伊藤の公式

定理 1

イットウ過程 {Xt}t0\left\{ X_{t} \right\}_{t \ge 0} が与えられているとする。 dXt=udt+vdWt d X_{t} = u dt + v d W_{t} 関数 V(t,Xt)=VC2([0,)×R)V \left( t, X_{t} \right) = V \in C^{2} \left( [0,\infty) \times \mathbb{R} \right) に対して Yt:=V(t,Xt)Y_{t} := V \left( t, X_{t} \right) としよう。すると {Yt}\left\{ Y_{t} \right\} もまたイットウ過程であり、次が成り立つ。 dYt=Vtdt+VxdXt+12Vxx(dXt)2=(Vt+Vxu+12Vxxv2)dt+VxvdWt \begin{align*} d Y_{t} =& V_{t} dt + V_{x} d X_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} \left( d X_{t} \right)^{2} \\ =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \end{align*}


  • C2C^{2} は二度微分可能で、その導関数が連続である関数のクラスだ。
  • Vt=Vt\displaystyle V_{t} = {{ \partial V } \over { \partial t }}Vx=VXt\displaystyle V_{x} = {{ \partial V } \over { \partial X_{t} }}Vxx=2VXt2\displaystyle V_{xx} = {{ \partial^{2} V } \over { \partial X_{t}^{2} }} である。
  • (dXt)2=dXtdXt\left( d X_{t} \right)^{2} = d X_{t} \cdot d X_{t} は次のイットウ乗算テーブルに従って計算される。 (dt)2=0dtdWt=0dWtdt=0(dWt)2=dt \begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*} したがって、 (dXt)2=(udt+vdWt)(udt+vdWt)=u2(dt)2+2uvdtdWt+v2(dWt)2=u20+20+v2dt=v2dt \begin{align*} \left( d X_{t} \right)^{2} =& \left( u dt + v d W_{t} \right) \left( u dt + v d W_{t} \right) \\ =& u^{2} \left( dt \right)^{2} + 2 uv dt d W_{t} + v^{2} \left( d W_{t} \right)^ {2} \\ =& u^{2} \cdot 0 + 2 \cdot 0 + v^{2} dt \\ =& v^{2} dt \end{align*} を得る。

説明

イットウ公式は、イットウ補題またはイットウ連鎖則とも呼ばれ、確率微分方程式全般で非常に重要に使われる定理である。ほとんどすべての計算で日常的に登場するため、連鎖則と呼ばれる価値は十分にある。

証明はここでは省略されるが、ただ多変数テーラー定理を適用して、高次の項を無視する方法で行われる。

ウィーナー過程でウィーナー過程を積分することは直感的に理解しにくい。形式的にはリーマン積分を思い浮かべた常識通り0tWsdWs=12Wt2\displaystyle \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} = {{ 1 } \over { 2 }} W_{t}^{2} のような結果が自然と思われるが、実際に計算してみよう。

イットウ公式を使う前に、与えられたイットウ過程を u=0u = 0v=1v = 1 として dXt=0dt+1dWt d X_{t} = 0 dt + 1 d W_{t} のようにセットすると Xt=WtX_{t} = W_{t} である。ここで、Yt:=V(t,Xt)=Xt22\displaystyle Y_{t} := V \left( t , X_{t} \right) = {{ X_{t}^{2} } \over { 2 }} とすると Vt=t(12Wt2)=0Vx=Wt(12Wt2)=WtVxx=2Wt2(12Wt2)=WtWt=1 \begin{align*} V_{t} =& {{ \partial } \over { \partial t }} \left( {{ 1 } \over { 2 }} W_{t}^{2} \right) = 0 \\ V_{x} =& {{ \partial } \over { \partial W_{t} }} \left( {{ 1 } \over { 2 }} W_{t}^{2} \right) = W_{t} \\ V_{xx} =& {{ \partial^{2} } \over { \partial W_{t}^{2} }} \left( {{ 1 } \over { 2 }} W_{t}^{2} \right) = {{ \partial } \over { \partial W_{t} }} W_{t} = 1 \end{align*} であるため、u=0u = 0v=1v = 1 から d(Wt22)=(Vt+Vxu+12Vxxv2)dt+VxvdWt=(0+Wt0+12112)dt+Wt1dWt=12dt+WtdWt \begin{align*} d \left( {{ W_{t}^{2} } \over { 2 }} \right) =& \left( V_{t} + V_{x} u + {{ 1 } \over { 2 }} V_{xx} v^{2} \right) dt + V_{x} v d W_{t} \\ =& \left( 0 + W_{t} \cdot 0 + {{ 1 } \over { 2 }} \cdot 1 \cdot 1^{2} \right) dt + W_{t} \cdot 1 \cdot d W_{t} \\ =& {{ 1 } \over { 2 }} dt + W_{t} d W_{t} \end{align*} 微分形を積分形に変えると Wt22=12t+0tWsdWs {{ W_{t}^{2} } \over { 2 }} = {{ 1 } \over { 2 }} t + \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} を整理すると、次を得る。 0tWsdWs=12(Wt2t) \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} = {{ 1 } \over { 2 }} \left( W_{t}^{2} - t \right) 一見すると、リーマン積分にはなかった11巻く t/2-t /2 が生じ、ごちゃごちゃして不便に見えるかもしれない。しかし、ここで期待値を取ると考えると t=Var(Wt)=E(Wt2)02 t = \Var \left( W_{t} \right) = E \left( W_{t}^{2} \right) - 0^{2} よって、 E(0tWsdWs)=12(tt)=0 E \left( \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} \right) = {{ 1 } \over { 2 }} \left( t - t \right) = 0 のようにきれいに消えることが確認できる。11項は単に計算方法の違いで生じるゴミ項ではなく、それなりの意味があるものだ。ウィーナー過程をウィーナー過程で積分したときの期待値は00 になるべきで、それに同意するなら、上の結論を直感的に受け入れることができるだろう。

確率積分 2

a<ba < b であり、cc は定数で、t>0t > 0 としよう。

0tdWs=WtabcdWs=c[WbWa] \begin{align*} \int_{0}^{t} d W_{s} =& W_{t} \\ \int_{a}^{b} c d W_{s} =& c \left[ W_{b} - W_{a} \right] \end{align*}

上記の2つのケースは通常のリーマン積分と同じ結果を出すが、次はイットウ積分特有の結果を出す。

0tWsdWs=12Wt212tabWsdWs=12[Wb2Wa2]12(ba)0tsdWs=tWt0tWsds=(t1)Wt0tWs2dWs=13Wt30tWsds0teWsdWs=eWt1120teWsds0tWteWsdWs=1+WteWteWt120teWs(1+Ws)dWs0tsWsdWs=t2(Wt2t2)120tWs2ds0t(Ws2s)dWs=13Wt3tWt0tes/2+WsdWs=et/2+Wt10tsinWsdWs=1cosWt120tcosWsds0tcosWsdWs=sinWt+120tsinWsds \begin{align*} \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} =& {{ 1 } \over { 2 }} W_{t}^{2} - {{ 1 } \over { 2 }} t \\ \int_{a}^{b} W_{s} d W_{s} =& {{ 1 } \over { 2 }} \left[ W_{b}^{2} - W_{a}^{2} \right] - {{ 1 } \over { 2 }} (b-a) \\ \int_{0}^{t} s d W_{s} =& t W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} ds = (t-1) W_{t} \\ \int_{0}^{t} W_{s}^{2} d W_{s} =& {{ 1 } \over { 3 }} W_{t}^{3} - \int_{0}^{t} W_{s} ds \\ \int_{0}^{t} e^{W_{s}} d W_{s} =& e^{W_{t}} - 1 - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{0}^{t} e^{W_{s}} ds \\ \int_{0}^{t} W_{t} e^{W_{s}} d W_{s} =& 1 + W_{t} e^{W_{t}} - e^{W_{t}} - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{0}^{t} e^{W_{s}} \left( 1 + W_{s} \right) d W_{s} \\ \int_{0}^{t} s W_{s} d W_{s} =& {{ t } \over { 2 }} \left( W_{t}^{2} - {{ t } \over { 2 }} \right) - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{0}^{t} W_{s}^{2} ds \\ \int_{0}^{t} \left( W_{s}^{2} - s \right) d W_{s} =& {{ 1 } \over { 3 }} W_{t}^{3} - t W_{t} \\ \int_{0}^{t} e^{-s/2 + W_{s}} d W_{s} =& e^{-t/2 + W_{t}} - 1 \\ \int_{0}^{t} \sin W_{s} d W_{s} =& 1 - \cos W_{t} - {{ 1 } \over { 2 }} \int_{0}^{t} \cos W_{s} ds \\ \int_{0}^{t} \cos W_{s} d W_{s} =& \sin W_{t} + {{ 1 } \over { 2 }} \int_{0}^{t} \sin W_{s} ds \end{align*}

特に期待値と分散に関しては、次の等式が知られている。

E(0tdWs)=0E(0tWsdWs)=0Var(0tWsdWs)=t22 \begin{align*} E \left( \int_{0}^{t} d W_{s} \right) =& 0 \\ E \left( \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} \right) =& 0 \\ \Var \left( \int_{0}^{t} W_{s} d W_{s} \right) =& {{ t^{2} } \over { 2 }} \end{align*}


  1. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p48. ↩︎

  2. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p125. ↩︎