📂数理統計学

信用区間

定義 ¹

母数空間 $\Theta$ の部分集合 $C \subset \Theta$ が有意水準 $\alpha$ に対して $P ( \theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$ を満たすとき、$C$ を資料 $y$ が与えられたときの $\theta$ に対する $100(1 - \alpha) % $ 信用区間^{credible Interval}という。

説明

ベイジアンにおける区間推定とは、母数 $\theta$ を含む確率が高い区間を見つけることである。こうして見つけられる「信用区間」とは、頻度主義者にとっては信頼区間に対応する概念である。

数式の理解

数式が少し難しく書かれているが、一度解きほぐしてみよう。積分形で表してみると $$ P ( \theta \in C | y ) = \int_{ \theta \in C} p ( \theta | y) d \theta $$ 理解を助けるために、単に有意水準を $\alpha = 0.05$ とおくと $$ \int_{ \theta \in C} p ( \theta | y) d \theta \ge 0.95 $$ であるとき $C$ を信用区間という。もう少し馴染みのある表現に変えて $C = [a,b] $ と書くと $$ \int_{a}^{b} p ( \theta | y) d \theta \ge 0.95 $$ である。下の二つの図で彩色された部分の面積が $0.95$ 以上であれば、この積分区間 $C$ は何であろうと信用区間になる。

しかし信用区間はその長さが短いほど正確であるから、条件を満たす信用区間のうちでは最も小さいものがよい。したがって、もし二つのうち一つを選ばなければならないなら右側になり、実際の推定ではもう少し正確な方法を用いる。

保守的な定義

信用区間が正確に $P ( \theta \in C | y ) = 1 - \alpha$ ではなく $P ( \theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$ と定義された理由は、単に安全を期すためである。計算をしていると必ずしも正確に合わせられない場合もあるため、下手に区間を狭めて外すよりは、少し広めにとるのである。

こういうものを見れば見るほど、頻度主義者たちの信頼区間と何が違い、わざわざ新しく定義する必要があるのかと思うだろう。しかし、微妙に見えるこの違いこそがベイジアンを魅力的にする核心的な要素の一つである。