分布収束すれば確率有界である
定理
確率変数のシーケンス$\left\{ X_{n} \right\}$が分布収束すれば確率有界である。
- $\overset{D}{\to}$は分布収束を意味する。
説明
先に確率収束すれば分布収束することを示したので、この対偶命題を考えてみると、「確率有界でなければ確率収束しない」という常識的な系も得られる。
証明
$\epsilon>0$が与えられており、$X_{n}$が確率変数$X$に分布収束し、その累積分布関数が$F_{X}$であるとしよう。すると、$\displaystyle x \le \eta_{1}$で$\displaystyle F_{X}(x) < {\epsilon \over 2}$であり、$\displaystyle x \ge \eta_{2}$で$\displaystyle F_{X}(x) > 1- {\epsilon \over 2}$を満たす$\eta_{1}, \eta_{2}$を見つけることができる。ここで$\eta = \max ( | \eta_{1} | , | \eta_{2} | )$とすれば $$ \begin{align*} P[|X|\le \eta] =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& \left( 1 - {\epsilon \over 2} \right) - {\epsilon \over 2} \\ =& 1- \epsilon \end{align*} $$ 次に、$X$に分布収束する$X_{n}$について考えてみると、$\displaystyle P[|X_{n}|\le \eta] = F_{X_{n}} (\eta) - F_{X_{n}} (-\eta)$の両辺に$\displaystyle \lim_{n \to \infty}$を取れば（つまり、十分に大きい$N_{\epsilon}$を選び続ければ）、分布収束という仮定から$\displaystyle \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}}(x) = F_X(x)$なので $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} P[|X_{n}|\le \eta] =& \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (\eta) - \lim_{n \to \infty} F_{X_{n}} (-\eta) \\ =& F_X (\eta) - F_X (-\eta) \\ \ge& 1 - \epsilon \end{align*} $$ 確率有界の定義により、$\left\{ X_{n} \right\}$は確率有界である。
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