📂数理統計学

最高事後密度信用区間

定義 ¹

母数空間$\Theta$の部分集合$C \subset \Theta$が有意水準$\alpha$に対して$C : = \left\{ \theta \in \Theta \ | \ p ( \theta | y ) \ge k (\alpha) \right\}$を満たすとき、$C$をデータ$y$が与えられたときの$\theta$に対する$100(1 - \alpha) % $最高事後密度信用区間^hPDという。

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• ここで$k(\alpha)$は$p(\theta \in C | y ) \ge 1 - \alpha$を満たす最大の定数である。

説明

数式や言葉よりも図を通して見るほうがはるかに理解しやすい。

実際の計算においても、上のように$k$を変え続けて積分値が$1 - \alpha$に近似するように探す数値的な方法を用いる。

• 一つ目は狭くとりすぎて信用区間自体になれない。
• 二つ目は保守的に広い区間を選ぶため信用区間にはなるが、範囲が広すぎて役に立たない。
• 三つ目の緑色の部分の面積が$1 - \alpha$であれば、このとき求められた区間をHPD（最高事後密度）信用区間という。

このような区間が信用区間になるという説明は、[標本平均と標準誤差に依存しがちであった信頼区間に比べてはるかに直観的](../752)である。

等裾信用区間

一方、このようなHPD信用区間は実際の計算が非常に難しいため、等裾信用区間^{equal Tail Credible Interval}というものも用いられる。等裾信用区間はその名からわかるように $$ \int_{-\infty}^{ a } p(\theta | y) d \theta = \int_{b}^{ \infty } p(\theta | y) d \theta = {{ \alpha } \over {2}} $$ となるような$[a,b]$をいう。