行列代数
線形代数の内容の中でも、行列に関する内容を中心に連立方程式、行列の対角化、行列分解、固有値問題、行列変換などを扱います。一般的なベクトル空間、線形変換などに関する内容は線形代数カテゴリーで見つけることができます。同じ内容であっても、線形代数カテゴリーの記事の方がより抽象的または難しい場合があります。ティストリーブランチの数値線形代数がこのカテゴリーに統合されました。
基礎行列代数
行列の形態
- ベクトルの定義
- 行列の定義
- 行列の演算:スカラー倍、加算、乗算
- 単位行列 $I, E$
- 零行列 $O$
- $1$ 行列
- 正方行列
- 三角行列
- 対角行列 $\diag$
- ブロック行列 $\begin{bmatrix} A & B \ C & D \end{bmatrix}$
- スパース行列
- ハンケル行列 $H$
行列の性質
- 逆行列 $A^{-1}$、可逆行列
- 転置行列 $A^{T}$
- 共役転置行列 $A^{\ast}$
- 直交行列 $A^{T} = A^{-1}$
- 射影行列 $P^{2} = P$
- 正定値行列 $\mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \ne 0$
- 行列の指数と対数 $e^{A}$、$\log A$
- 正定値行列の実数べき $A^{t}$
連立方程式
行列式
- 行列式 $\det$
- 余因子と古典伴随行列 $\text{adj} A = C^{T}$
- クラメルの公式の証明
- ヴァンデルモンド行列の行列式の導出
- 三重対角行列の行列式の導出
- シャーマン・モリソンの公式の導出 $\left( A + \mathbf{u} \mathbf{v}^{T} \right)^{-1}$
固有値問題
一次変換
行列空間
数値行列代数
行列分解
- 可逆行列の固有値対角化 $A = Q^{\ast} \Lambda Q$
- 正定値行列のコレスキー分解
- 可逆行列のLU分解 $A = LU$
- 対称行列のLDU分解 $A = LDL^{T}$
- 正方行列のシュール分解 $A = QTQ^{\ast}$
- 行列の特異値分解 SVD
- 行列のQR分解
最小二乗法
주요 참고문헌
- Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002)
- 김상동. (2012). 수치행렬해석
- Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019)
全體ポスト
- 正規行列の定義
- 分数関数の逆関数と二次正方行列の逆行列の形
- 回転変換行列の累乗公式の証明
- 2次行列の積の成分の和を簡単に求める公式
- 行空間、列空間、零空間
- 行列のランク、零化次元
- 連立方程式で理解するランクと零次元
- 固有値の代数的重複度と幾何的重複度
- 類似行列は同じ固有値を持つ
- 固有値の代数的重複度はその幾何的重複度以上である
- 可逆行列の固有値対角化
- 行列の特異値分解
- 完全な特異値分解の存在証明
- 正方行列のシューア分解
- エルミート行列の固有値対角化:スペクトル理論の証明
- 可逆行列のLU分解
- 対称行列のLDU分解
- 正定値行列のコレスキー分解
- コレスキー分解の一意性証明
- 線形代数における射影
- 行列代数における射影
- 最小二乗法
- 行列のQR分解
- QR分解による最小二乗法
- コレスキー分解による最小二乗法
- 特異値分解による最小二乗法
- ラプラス展開
- クラメールの定理の証明
- ヴァンデルモンド行列の行列式の導出
- 三重対角行列の行列式導出
- シュトラッセンのアルゴリズムの証明
- 楕円の一般化:楕円体
- ベクトルと行列の演算/表記法テーブル
- ベクトルの定義
- 行列の定義
- 行列の演算: スカラー乗法、加法、乗法
- 正方行列
- 対角行列
- 同一行列、単位行列
- 転置行列
- 逆行列、可逆行列
- 正則行列であるための同値条件
- 対称行列、歪対称行列
- 共役転置行列
- 行列の内積
- 直交行列
- 直交行列の性質
- トレース
- 直交行列の同値条件
- エルミート行列
- エルミート行列の固有値は常に実数である
- エルミート行列の異なる固有値の固有ベクトルは互いに直交する。
- ユニタリ行列
- 連立一次方程式
- 拡張行列と基本行操作
- 行列式
- 行列式の性質
- 政府号行列
- 固有値と固有ベクトル
- 行列の相似
- 行列変換
- ガウス-ジョルダン消去法
- 同時同次一次方程式
- 基本行列
- 逆行列と連立一次方程式
- 行空間、列空間、零空間の基底
- 疑似逆行列
- 回転変換
- フロベニウスノルム
- 過飽和系と未飽和系
- 行列の基本空間
- フルランク行列の性質
- ペロン-フロベニウス定理
- 三角行列
- 冪零行列
- スペクトル半径の定義
- ブロック行列
- 対角行列積を通した行列の行別、列別スカラップ
- 直交三角行列は冪零である
- 行列
- ゼロ行列
- 行列の直和
- 行列のクロネッカー積
- 行列のアダマール積
- 行列式の補助定理の証明
- シャーマン-モリソン公式の導出
- 固有値と固有ベクトル
- 三角行列の行列式
- スパース行列
- 平方根行列
- ガウス消去法を使った逆行列の求め方アルゴリズム
- X^T X の逆行列が存在するための必要十分条件
- 3次元回転変換行列:ロール、ピッチ、ヨー
- ハンケル行列
- 行列のスペクトラムと分解集合
- トェプリッツ行列はエルミート行列である
- スペクトラル分解
- 正定値行列の逆行列と平方根行列
- 順列行列
- PLU分解
- 正定値半不定行列と拡張されたコーシー・シュワルツの不等式の証明
- エルミート行列空間と半正定値行列の凸錐
- エルミート行列のロワーナー順序
- 行列の指数関数と対数関数
- 正定値行列とその実数乗