可逆行列の固有値対角化
定義
$A \in \mathbb{C}^{ m \times m }$に対して$A = Q^{ \ast } \Lambda Q$を満たすユニタリ行列 $Q$と対角行列 $\Lambda$が存在すれば、行列$A$はユニタリ対角化可能であるという。
定理
可逆行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times m}$の一次独立な固有ベクトル $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m}$に対して$S = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix}$とすると $$ S^{-1} A S = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} $$
説明
仮定で固有ベクトルを必要としたので、$\lambda_{i}$が固有ベクトル$\mathbf{x}_{i}$の固有値を表すということは難なく推測できる。
このような対角化が可能であれば、行列の累乗を非常に簡単に求められるという利点がある。$A$は対角化は可能だが、累乗するにはかなり複雑な形をしていると考えてみよう。本来なら膨大な量の計算を行わなければならないが、$A = S \Lambda S^{-1}$の形で表されれば$A^{n} = S \Lambda^{n} S^{-1}$としても表すことができ、対角行列 $\Lambda = \text{diag} ( \lambda_{1} , \lambda_{2} , \cdots , \lambda_{m} )$の累乗は$\Lambda^{n} = \text{diag} ( \lambda_{1}^{n} , \lambda_{2}^{n} , \cdots , \lambda_{m}^{n} )$であるため、計算が画期的に減る。このような行列の累乗は確率過程論や大気科学などで活発に応用されていることが知られている。
一方、ある固有値に対して固有ベクトルは一意ではないので、行列$S$もまた一意ではないことに注意しよう。
証明
$A$は可逆行列であるため、$A$の一次独立な固有ベクトル $\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m}$が存在する。 $$ \begin{align*} AS =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1}, A \mathbf{x}_{2}, \cdots , A \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda_{1} \mathbf{x}_{1}, \lambda_{2} \mathbf{x}_{2}, \cdots , \lambda \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots , \mathbf{x}_{m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \\ =& S \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} \end{align*} $$
$S$は一次独立な固有ベクトルで構成された行列であるため、$S^{-1}$が存在し、左辺に移すと $$ S^{-1} A S = \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_{m} \end{bmatrix} $$
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