三重対角行列の行列式の導出
公式
$$ X_{n} := \begin{bmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix} $$ 上のように定義された三重対角行列$X_{n}$の行列式は次のようになる。 $$ \det X_{n} = \left| X_{n} \right| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right) $$
$U_{n}$は$n$次の第2種チェビシェフ多項式を意味する。
証明
もちろん$X_{n}$は一般的な三重対角行列ではなく、三重対角テプリッツToeplitz行列の中でも特殊な形である。その中でも特に偏微分方程式の数値解析的な解法に有用に用いられる形であり、通常はその固有値に関心が持たれることが多い。
Part 1. $| X_{n+1} | = x | X_{n} | - | X_{n-1} |$
ラプラス展開: 選ばれた$i$行について $$ \det A = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} $$
$n \times n$行列$Y_{n} : = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & x \end{bmatrix}$を定義しよう。$Y_{n}$の第1列は$(1, 0 , \cdots , 0)$であり、第1成分を除けば零ベクトルになるので、第1列を含む余因子は$0$になる。従って
$$ | Y_{n} | = 1 \cdot | X_{n-1} | - 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdot 0 = | X_{n-1} | $$
同様にラプラス展開によって
$$ | X_{n+1} | = x \cdot | X_{n} | - 1 \cdot | Y_{n} | + 0 \cdot 0 - \cdots \pm 0 \cdots 0 = x | X_{n} | - | X_{n-1} | $$
Part 2. $\displaystyle | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$
命題$\displaystyle P(n) : | x_{n}| = U_{n} \left( {{x} \over {2}} \right)$を定義し、数学的帰納法を使おう。
$n=1$のとき、 $$ | X_{1} | = x \\ U_{1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 2 {{x} \over {2}} = x $$
$n=2$のとき、 $$ | X_{2} | = x^2 - 1 \\ U_{2} \left( {{x} \over {2}} \right) = 4 \left( {{x} \over {2}} \right)^2 - 1 = x^2 - 1 $$
命題$P(n)$が$n=k-1$、$n=k$のとき成立すると仮定しよう。
$$ U_{n+1} (x) = 2x U_{n} (x) - U_{n-1} (x) $$
Part 1で
$$ | X_{k+1} | = x | X_{k} | - | X_{k-1} | $$
であり、
$$ U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) $$
従って
$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = x \left[ | X_{k} | - U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] - \left[ | X_{k-1} | - U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right) \right] $$
仮定より$\displaystyle | X_{k} | = U_{k} \left( {{x} \over {2}} \right)$であり$\displaystyle | X_{k-1} | = U_{k-1} \left( {{x} \over {2}} \right)$なので
$$ | X_{k+1} | - U_{k+1} \left( {{x} \over {2}} \right) = 0 $$
数学的帰納法により$P(n)$は$n \in \mathbb{N}$に対して真である。
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