エルミート行列の固有値は常に実数である
定理
$A$を大きさが$n \times n$のエルミート行列とする。すると$A$の固有値はすべて実数である。
説明
一般的な行列では固有値が実数であるという保証はなく、エルミート行列については証明を通じて実数であることを確認できる。
直感的には思い浮かべにくいが、証明自体は簡単な方であり、事実としてもかなり有用である。後に続く正定値などの概念と結合していろいろな良い結果を与えるので、必ず知っておこう。
証明
$A$の固有値を$\lambda$、$\lambda$に対応する固有ベクトルを$\mathbf{x}$とする。すると固有値方程式は次のようになる。
$$ A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} $$
両辺の左側に$\mathbf{x}^{\ast}$を掛けると次のようになる。
$$ \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \end{equation} $$
両辺に共役転置$^{ \ast }$を取ると、共役転置の性質により次のようになる。
$$ \begin{align*} \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} \right) ^{\ast} = & \left( \lambda \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \right) ^{\ast} \\ \implies \mathbf{x}^{\ast} A^{ \ast } \mathbf{x} = & \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{align*} $$
$A$はエルミート行列なので$A=A^{\ast}$であり、上の式は下のようになる。
$$ \begin{equation} \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} \end{equation} $$
$(1)$と$(2)$により次の式が成り立つ。
$$ \lambda \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A \mathbf{x} = \mathbf{x}^{ \ast } A^{ \ast } \mathbf{x} = \overline{\lambda} \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} $$
したがって $$ ( \lambda - \overline{\lambda} ) \mathbf{x}^{ \ast } \mathbf{x} = 0 $$
ところが$\mathbf{x}$は固有ベクトルなので$\mathbf{0}$ではない。したがって$\mathbf{x}^{\ast} \mathbf{x} \ne \mathbf{0}$である。ゆえに
$$ \lambda = \overline{\lambda} $$
が成り立ち、これは$\lambda$が実数であることを意味する。
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