📂行列代数

エルミート行列の固有値対角化: スペクトル理論の証明

定理

可逆行列 $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$の固有値 $\lambda_{k}$たちで構成された対角行列を$\Lambda : = \text{diag} ( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m} )$、それらの固有値に対応する正規直交固有ベクトル$\mathbf{q}_{k}$たちで構成された直交行列を$Q$とする。

[1] スペクトル理論

$A$が正規行列であるための必要十分条件は、$A$がユニタリ対角化可能であることである。 $$ A A^{\ast} = A^{\ast} A \iff A = Q \Lambda Q^{\ast} $$

系

$A$が対称行列であれば、$A$は直交対角化可能である。

[2] エルミート行列の条件下で

もし$A$がエルミート行列であれば、ユニタリ対角化可能である: $$ A = A^{\ast} \implies A = Q \Lambda Q^{\ast} $$ さらに、$\Lambda$の対角成分はすべて実数からなる。

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• $A^{\ast} = \left( \overline{A} \right)^{T}$は$A$に複素共役を取った行列の転置行列である。

説明

可逆行列を分解できるということ自体は固有値対角化の過程で確認した。スペクトル理論はその逆が成立する条件を提示しており、非常に重要であるといえる。すぐに応用できる分野としては統計学があり、主成分分析の理論的土台となる。

一方、スペクトル理論でいう$A = Q \Lambda Q^{\ast}$を次のように固有対 $\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{m}$たちの級数形で表したものをスペクトル分解^{spectral decomposition}という。 $$ A = \sum_{k=1}^{m} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} $$

証明

正方行列 $A$はシュア分解可能なので、次を満たすユニタリ行列 $Q$と上三角行列 $T$が存在する。 $$ A = Q T Q^{\ast} $$ 以下の証明ではこのノーテーションを共有する。$O$は零行列を表す。

[1] ¹

$A$が正規行列であることは、$T$が正規行列であることと同値である: $$ \begin{align*} & A A^{\ast} = A^{\ast} A \\ \iff & Q T Q^{\ast} \left( Q T Q^{\ast} \right)^{\ast} = \left( Q T Q^{\ast} \right)^{\ast} Q T Q^{\ast} \\ \iff & Q T T^{\ast} Q^{\ast} = Q^{\ast} T^{\ast} T Q \\ \iff & Q \left[ T T^{\ast} - T^{\ast} T \right] Q^{\ast} = O \\ \iff & T T^{\ast} = T^{\ast} T \end{align*} $$

三角正規行列の同値条件: $T$を正方行列とする。三角行列 $T$が正規行列であるための必要十分条件は、$T$が対角行列であることである: $$ T T^{\ast} = T^{\ast} T \iff \left( T \right)_{ij} = 0 , \forall i \ne j $$

一方、上三角行列$T$が正規行列であることは$T$が対角行列であることと同値であり、これは次のように要約できる。 $$ \begin{align*} & A A^{\ast} = A^{\ast} A \\ \iff & T T^{\ast} = T^{\ast} T \\ \iff & A = Q T Q^{\ast} \end{align*} $$ あとは$T = \Lambda := \diag \left( \lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m} \right)$が$A$の固有値たちで構成された対角行列であることを示せばよい。$A = Q \Lambda Q^{\ast}$の両辺の右側に$Q$を掛けると $$ A Q = Q \Lambda $$ となり、ここで$Q:= \begin{bmatrix} \mathbf{q}_{1} & \cdots & \mathbf{q}_{m} \end{bmatrix}$はユニタリ行列なので、$k = 1 , \cdots , m$に対して$A \mathbf{q}_{k} = \lambda_{k} \mathbf{q}_{k}$である。したがって$\lambda_{k}$は$A$の固有値となる。

[2] ²

$A^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast}$であるが$A^{\ast} = A$なので$Q T Q^{\ast} = Q T^{\ast} Q^{\ast}$、すなわち$T = T^{\ast}$である。これを満たす上三角行列は対角行列であり、上述の方法により$T = \Lambda$が$A$の固有値たちで構成された対角行列であることを示すことができる。特にこの場合、$A$はエルミート行列なのでその固有値はすべて実数である。

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