測度論
測度論と確率論の要約: 基本的な定義と概念を一つの記事にまとめた。
実数 $\mathbb{R}$ で定義される測度
- 零集合
- 外測度 $m^{\ast}$
- シグマ代数と可測空間 $(X, \mathcal{E})$
- ルベーグ測度 $m$
- ボレル集合
- ルベーグ可測関数
- 測度論でのほとんど至る所とほとんど確実に
- 任意の関数を二つの非負の関数で表す方法
- 任意の関数の絶対値を二つの非負の関数で表す方法
積分
一般的な測度
- 代数、準測度
- 測度の一般的な定義
- 可測関数
- ボレル $\sigma$-代数、ボレル可測空間
- 拡張された実数値を持つ関数が可測関数であるための必要十分条件
- カラテオドリの定理
- 測度の絶対連続性
- ラドン・ニコディム微分
- ラドン・ニコディムの定理
- 一様可積分性
- 測度収束
- ヴィタリ収束定理
- パイシステムとラムダシステム
- ダインキンのパイ-ラムダ定理
- 測度の弱い収束
符号測度と微分
- 符号測度
- 正集合、負集合、零集合
- ハーンの分解定理
- 相互に特異
- ジョルダン分解定理
- 全変動
- 符号測度の絶対連続性
- ルベーグ・ラドン・ニコディムの補助定理
- 絶対連続と可積分な関数の関係
- 複素測度、ベクトル測度
- マクシマル補助定理
- ハーディ・リトルウッドのマクシマル関数
- マクシマル定理
- 局所可積分な関数の平均値は中心の関数値に収束する
主要参考文献
- Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995)
- Capinski, Measure, Integral and Probability (1999)
- Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999)
全體ポスト
- 空集合
- 外測度
- シグマ代数と可測空間
- ルベーグ測度
- ボレル集合
- ルベーグ可測関数
- 測度論でのほとんど至る所とほとんど確実に
- ルベーグ積分
- ファトゥの補題の証明
- 単調収束定理の証明
- ルベーグ積分可能
- 支配収束定理の証明
- 測度論におけるレヴィの定理の証明
- リーマン積分の一般化としてのルベーグ積分
- カラテオドリの定理の証明
- 予測可能関数
- 実数値を持つ可測関数の性質
- 任意の関数を二つの非負の関数として表す方法
- ボレルσ-代数、ボレル可測空間
- 拡張された実数値を持つ関数が可測関数であるための必要十分条件
- 測度の一般的な定義
- 符号付き測度
- 正の集合, 負の集合, 零の集合
- ハーン分解定理
- 相互に特異的
- ジョルダン分解定理
- 可測空間の分割と細分化
- 測度の絶対連続
- 有限シグマ測度
- ラドン-ニコディム微分
- トータルバリエーション
- ラドン-ニコディムの定理の証明
- 符号測度の絶対連続性
- ルベーグ-ラドン-ニコディムの補助定理
- 絶対連続と積分可能な関数の関係
- 任意の関数の絶対値を二つの非負の関数として表現する方法
- 代数、準測度
- 複素測度、ベクトル測度
- ハーディ・リトルウッドの極大関数
- マクシマル補題
- 局所積分可能な関数の平均値は中心の関数値に収束する。
- マキシマル定理
- 一様可積分性
- 測度収束
- ヴィタリ収束定理
- πシステムとλシステム
- ディンキンのパイ-ラムダ定理
- 測度の弱収束
- 正則測度
- エゴロフの定理
- ルジンの定理
- 可測関数に収束する単純関数列の存在性
- 絶対連続実関数