📂測度論

零集合

定義 ¹

実数の区間の集合$\mathcal{I}$に対して関数$l : \mathcal{I} \to [ 0 , \infty )$を$l( I ) := \sup{I} - \inf{I}$のように定義し、長さ^lengthと呼ぶことにしよう。任意の$\varepsilon > 0$に対して $$ A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) < \varepsilon $$ を満たす区間の数列$\left\{ I_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$が存在すれば、$A \subset \mathbb{R}$を零集合^{null set}という。

説明

すべての区間の集合を$\mathcal{I}$で、すべての零集合の集合を$\mathcal{N}$で表す。

零^nullも空^emptyもその意味は似ているが、明らかに異なるニュアンスを持っていることに注意しよう。あえてその違いを説明してみると、Nullは「事実上」無いのと同然であり、Emptyは「実際に」無い感じだと言える。考えてみれば、数学以外の分野では真の「不在」を簡単に見つけたり証明したりするのは難しいのが事実である。あるセンスでは、コンピュータ工学でEmptyの代わりにNullが使われる理由だと言ってもよいだろう。たとえば、変数が宣言された後に何らかの値を割り当てられなかったとしても、それは抽象的な「虚無」ではなく「無意味」な状態だという具合である。意味が無いのでメモリを使ってまで保存する理由はなく、いつ消えても構わない。 上のような区分に従えば、これをNullと呼ぶのはかなり妥当なものに見える。零集合をあのように定義するのは、ある集合が空ではないが「長さ」という概念においては事実上無意味だという意味になる。

定理

証明

1

$n \in \mathbb{N}$に対して$I_{n} : = \emptyset$とすれば $$ \emptyset \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) = 0 < \varepsilon $$

■

2

一元集合$\left\{ x \right\}$を考えてみよう。 $n \in \mathbb{N}$に対して$\displaystyle I_{n} : = \left( x - {{ \varepsilon } \over {2 \cdot 2^{n+1}}} , x + {{ \varepsilon } \over {2 \cdot 2^{n+1}}}\right)$とすれば、自然に次が成り立つ。

$$ \left\{ x \right\} \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) = {{\varepsilon} \over {2}} < \varepsilon $$

■

3

戦略: 自然数を有理数に一対一対応させるアイデアを応用したものである。一方、3の逆^inverse「非可算集合は零集合ではない」は、反例としてカントール集合があるため偽である。

---

定理1により一元集合は零集合であるから、零集合の数列$\left\{ N_{n} \right\}$に対して$\displaystyle N : = \bigcup_{n=1}^{\infty} N_{n}$が零集合であればよい。 $N_{1}$が零集合であるから $$ \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,1)}) < {{\varepsilon} \over {2}} \\ N_{1} \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,1)} $$ を満たす$\left\{ I_{(k,1)} \ | \ k \in \mathbb{N} \right\}$が存在する。同様に$N_{n}$が零集合であるから $$ \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) < {{\varepsilon} \over {2^{n}}} \\ N_{n} \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,n)} $$ を満たす$\left\{ I_{(k,n)} \ | \ k \in \mathbb{N} \right\}$が存在する。 $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 7 & \cdots \\ 3 & 5 & 8 & \ddots & \\ 4 & 9 & \ddots & & \\ 10 & \ddots & & \\ \vdots & & \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & \cdots \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & \ddots & \\ (4,1) & (4,2) & \ddots & & \\ (5,1) & \ddots & & \\ \vdots & & \end{bmatrix} $$

上の行列のようにインデックスを与えた区間の数列$J_{j} : = I_{(k,n)}$を定義すれば $$ N = \bigcup_{n=1}^{\infty} N_{n} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,n)} = \bigcup_{j=1}^{\infty} J_{j} $$ そして $$ \sum_{j=1}^{\infty} l (J_{j}) = \sum_{n=1, k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) \right) < \sum_{n=1}^{\infty} {{\varepsilon} \over { 2^{n} }} = \varepsilon $$ であるから$N$は零集合である。

■