📂測度論

ルベーグ可測関数

定義 ¹

関数 $f: E \in \overline{ \mathbb{R} }$がすべての区間 $I \subset \overline{ \mathbb{R} }$に対して $$ f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{M} $$ であれば、$f$を**(ルベーグ)可測**^{(Lesbegue) Measurable}という。

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• $\overline{ \mathbb{R} } = \mathbb{R} \cup \left\{ - \infty , + \infty \right\}$は$1$次元ユークリッド空間に負・正の無限大を含めた拡張実数空間である。

同値条件

以下の命題は互いに同値である。

• (1): $f$がルベーグ可測関数である。
• (2): すべての$r \in \mathbb{R}$に対して$f^{-1} ( - \infty , r ] \in \mathcal{M}$
• (3): すべての$r \in \mathbb{R}$に対して$f^{-1} (r, \infty ) \in \mathcal{M}$
• (4): すべての$r \in \mathbb{R}$に対して$f^{-1} ( - \infty , r ) \in \mathcal{M}$
• (5): すべての$r \in \mathbb{R}$に対して$f^{-1} [r, \infty ) \in \mathcal{M}$

定理

• [1]: $f$が可測であることの必要十分条件は、すべての開集合 $O$に対して$f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$であることだ。
• [2]: $D \subset E$、$D \in \mathcal{M}$のとき、$f |_{E}$が可測であることの必要十分条件は$f |_{D}$、$f |_{E \setminus D}$が可測であることだ。

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• $f |_{X}$は定義域を$X$に制限し$f = f |_{X}$である縮小写像を意味する。
• 指示関数^{indicator function}とは、次のようにある集合に対して属すれば$1$、そうでなければ$0$となる関数 $$\displaystyle \mathbb{1}_{E} (x) = \chi _{E} (x) = \begin{cases} 1 & , x \in E \\ 0 & , x \notin E \end{cases}$$ のことをいう。きれいに書こうとして$E \in \mathcal{M}$という条件が省略されたので注意しなければならない。

説明

より扱いやすくするためには、原像の定義である$f^{-1} (-\infty , r) = \left\{ x \in E \ | \ f(x) < r \right\}$をそのまま使うのが便利だろう。

もしルベーグ可測関数の条件において、すべての区間 $I \subset \mathbb{R}$に対して$f^{-1} (I) = \left\{ x \in \mathbb{R} \ | \ f(x) \in I \right\} \in \mathcal{B}$を満たす場合、ボレル可測^{borel Measurable}といい、ボレル関数^{borel function}と呼ぶ。

拡張実数 $\overline{\mathbb{R}} : = [ - \infty, \infty]$は実数全体に無限大も一点とみなして含めたものである。これまでの解析学において無限とはただただ難しく恐ろしいものだったが、今やそれは征服すべき対象に過ぎない。あまり恐れず、高校のあの頃の柔軟な思考を再び取り戻そう。

一般的な可測空間を考えたときには、むしろ**[1]**が可測関数の定義になることもある。

証明

[1]

閉区間の場合は開区間の両端に二つの点を加えればよいので、開区間だけ考えれば十分である。

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$(\Rightarrow)$

開区間$A_{k} := (a_{k}, \infty)$、$B_{k} := (b_{k}, \infty)$を定義すると、$f$が可測関数なので $$f^{-1} (A_{k}), f^{-1} (B_{k}) \in \mathcal{M}$$ 任意の開集合 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$は$\displaystyle O = \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k}$と表せるので $$\displaystyle f^{-1} ( O ) = f^{-1} \left[ \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} \cap B_{k} \right] = \bigcup_{k=1}^{\infty} \left[ f^{-1} (B_{k}) \cap f^{-1} (B_{k}) \right]$$ σ-体の性質により$f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$である。

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$(\Leftarrow)$ すべての開集合 $O \subset \overline{ \mathbb{R} }$に対して$f^{-1} ( O ) \in \mathcal{M}$なので、すべての開区間$(a,b) \subset \overline{ \mathbb{R} }$に対しても$f^{-1} (a,b) \in \mathcal{M}$である。

可測関数の定義により、$f$は可測関数である。

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[2]

$(\Rightarrow)$

$f |_{E}$が可測関数なので$E \in \mathcal{M}$であり、$D \in \mathcal{M}$なので$( \mathbb{R} \setminus D ) \in \mathcal{M}$である。したがって次が成り立つ。 $$E \cap (\mathbb{R} \setminus D ) = ( E \setminus D ) \in \mathcal{M}$$

$f |_{E}$が可測関数であり、$D \subset E$かつ$D \in \mathcal{M}$なので$f |_{D}$は可測関数である。一方で$(E \setminus D) \subset E$かつ$(E \setminus D) \in \mathcal{M}$なので$f |_{E \setminus D}$もまた可測関数である。

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$(\Leftarrow)$

$f |_{D}$、$f |_{E \setminus D}$が可測関数なので$D, ( E \setminus D ) \in \mathcal{M}$であり、 $$D \cup ( E \setminus D ) = E \in \mathcal{M}$$ である。したがって$f |_{E}$は可測関数の条件を満たす。

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この証明で注意すべきことは、$f |_{X}$が可測であるという言葉を極力控えたのがこの程度だということだ。実際にはほぼ一節ごとに繰り返して書いてやらないと、まともな証明にならない。

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3

$f$が連続関数であれば、すべての開集合$V \subset Y$に対して、$f^{-1} (V)$が$X$において開集合である。

連続関数の性質と定理[1]により、連続関数は可測関数である。

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参考までに、合成関数$f \circ g$が可測関数であるための必要条件は、$g : E_{1} \to E_{2}$と$f : E_{2} \to \mathbb{R}$が連続関数であることだ。

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4

当然だが、証明に先立って$E \in \mathcal{M}$であることを仮定しなければならないだろう。すると $$\mathbb{1}_{E}^{-1} ( r , \infty) = \begin{cases} \mathbb{R} & , r < 0 \\ E & , 0 \le r < 1 \\ \emptyset & , 1 \le r \end{cases}$$ であり、すべての$r$に対して$\mathbb{1}_{E}^{-1} (r, \infty) \in \mathcal{M}$である。

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5

単調関数は増加関数であるか減少関数である。任意の区間 $I$で定義された増加関数$f : I \to \mathbb{R}$が可測関数であることを示せば十分である。

$I$で$f$が不連続になる点の集合を$D \subset I$とすると、$f |_{I \setminus D}$は連続関数である。単調関数の定義域で$f$が不連続になる点はどれほど多くても可算なので、$D$は可算集合である。

$D \in \mathcal{N} \subset \mathcal{M}$なので$f |_{D}$は可測関数であり、3により連続関数$f |_{I \setminus D}$も可測関数なので、[2]により$f_{I} = f$は可測関数である。

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一般化

• 可測関数の一般的な定義