📂測度論

リーマン積分の一般化としてのルベーグ積分

定理 ¹

有界関数 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ と $g : \mathbb{R} \to [0,\infty)$ としよう。

• [1]: $f$ が $[a,b]$ でリーマン積分可能であることは、$f$ がルベーグ測度に対して $[a,b]$ のほとんど至る所で連続であることと同値である。
• [2]: $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$ が存在するなら、$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{[a,b]} f dm$
• [3]: $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx$ が存在するなら、$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} g(x) dx = \int_{\mathbb{R}} g dm$

説明

測度に関するこれら多くの論議は全て、この「積分の一般化」のためにあると考えても差し支えない。ルベーグ積分によってより多くの関数の定積分を求められるようになったのは良いことだが、その値がリーマン積分と異なれば意味がない。

基礎解析学ではリーマン積分が可能か不可能かを把握するのは難しかったが、定理 [1] があれば非常に簡単に証明が可能である。例えば、ディリクレ関数 $\mathbb{1}_{\mathbb{Q}}$ は $[0,1]$ のすべての点で不連続であるため、リーマン積分が存在しない。