📂測度論

ファトゥの補題の証明

定理 ¹

関数値が非負である可測関数の列 $\left\{ f_{n} \right\}$ に対して $$ \int_{E} \left( \liminf_{n \to \infty} f_{n} \right) dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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• $\liminf$ は下極限である。

説明

実解析における単調収束定理と優収束定理を証明するために必要な補題である。可測関数という条件が抜けた級数に対するファトゥの補題は次の通りである。

級数バージョン: 関数値が非負である関数の数列 $\left\{ f_{k} : \mathbb{N} \to [0, \infty) \right\}_{k \in \mathbb{N}}$ に対して $$ \sum_{j=1}^{\infty} \liminf_{k \to \infty} f_{k} (j) \le \liminf_{k \to \infty} \sum_{j=1}^{\infty} f_{k} (j) \qquad , \forall j \in \mathbb{N} $$

証明

戦略: 単純関数に対する感覚を持っている必要がある。補題がみなそうであるように有用だが証明が非常に長く複雑なので、精神状態が澄んで健康なときに読むことを勧める。級数形に対する証明も本質的に全く同じである。

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Part 1.

$$ f : = \liminf_{n \to \infty} f_{n} \\ \displaystyle g_{n} : = \inf_{k \ge n } f_{k} $$ とすると $\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} g_{n}$ である。 $$ \int_{E} f dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ を示すためには、すべての単純関数 $\phi \le f$ に対して $$ \int_{E} \phi dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$ を示せば十分である。

さて、非常に小さい正の数 $\varepsilon > 0$ に対して、新しい単純関数 $$ \phi_{\varepsilon}(x) := \begin{cases} \phi (x) - \varepsilon & , \phi>0 \\ 0 & , \phi = 0 \end{cases} \ge 0 $$ を定義してみよう。すると十分大きい自然数 $n$ に対して $\phi_{\varepsilon} \le g_{n} \le f$ が成り立つだろう。最後に $A_{k} : = \left\{ x \ | \ g_{k} \ge \phi_{\varepsilon} \right\}$ を定義すると $$ A_{k} \subset A_{k+1} \\ \displaystyle \bigcup_{k=1}^{\infty} A_{k} = \mathbb{R} $$

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Part 2.

$A_{n}$ において $\phi_{\varepsilon} \le g_{n}$ なので $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm \le \int_{A_{n} \cap E} g_{n} dm $$ $\displaystyle g_{n} = \inf_{k \ge n } f_{k}$ であったので、$k \ge n$ において $$ \int_{A_{n} \cap E} g_{n} dm \le \int_{A_{n} \cap E} f_{k} dm $$ である。一方 $A_{n} \cap E \subset E$ なので $$ \int_{A_{n} \cap E} f_{k} dm \le \int_{E} f_{k} dm $$ したがって次を得る。 $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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Part 3.

$\phi_{\epsilon}$ は単純関数であったので、値域は有限集合 $\left\{ c_{1} , c_{2} , \cdots , c_{r} \right\}$ で表せる。$B_{i} := \phi_{\epsilon}^{-1} ( \left\{ c_{i} \right\} )$ とすると $$ \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm = \sum_{i = 1}^{r} c_{i} m (A_{n} \cap E \cap B_{i}) $$

[7]: $A_{n} \in \mathcal{M}$, $\displaystyle A_{n} \subset A_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (A_{n})$

Part 1で $A_{n} \subset A_{n+1}$ かつ $\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} = \mathbb{R}$ であったので $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{r} c_{i} m (A_{n} \cap E \cap B_{i}) = \lim_{n \to \infty} \int_{A_{n} \cap E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm $$ これでPart 2で得た結果と合わせると $$ \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm \le \liminf_{k \to \infty} \int_{E} f_{k} dm $$

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Part 4.

• Case 1. $m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) < \infty$
  $$\displaystyle \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi dm - \varepsilon m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) $$ $\varepsilon \to 0$ で極限を取ると次を得る。 $$ \displaystyle \int_{E} \phi_{\varepsilon} dm = \int_{E} \phi dm $$

• Case 2. $m( \left\{ x \ | \ \phi (x) >0 \right\} ) = \infty$ $$\displaystyle D_{n} : = \left\{ x \ \left| \ g(x) \ge {{1} \over {2}} \min \left\{ c_{i} \right\}_{i=1}^{n} \right. \right\} $$ とすると $$ D_{n} \subset D_{n+1} \\ \displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty} D_{n} = \mathbb{R} $$ なので $\displaystyle \int_{D_{n} \cap E} g_{n} dm \to \infty$ であり、$g_{n}$ の定義から次を得る。 $$ \displaystyle \int_{D_{n} \cap E} g_{n} dm \le \int_{D_{n} \cap E} f_{k} dm \le \int_{E} f_{k} dm $$

したがって、いずれの場合でもすべての単純関数 $\phi \le f$ に対して次が成り立つ。 $$ \int_{E} \phi dm \le \liminf_{n \to \infty} \int_{E} f_{n} dm $$

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