📂測度論

マキシマル補題

定理¹

$\mathbb{R}^n$における開球のコレクションを$\mathcal{B}$とする。$U=\bigcup \limits_ { B\in \mathcal{B}} B$とする。すると、ある定数$c \lt m (U)$に対して、以下の条件を満たす有限個の互いに素な$B_{j} \in \mathcal{B}$が存在する。

$$ \dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j}) $$

このとき$m$は$n$次元ルベーグ測度である。

説明

実際にこの定理にマキシマル補題^{maximal lemma}という名前がついているわけではなく、マキシマル定理で補題として使われるため適当につけたものである。

測度の値が$m(U)$と$c/3^{n}$の間である有限集合${B_{j}}$が必ず存在することを保証する。

証明

まず$c< m (K) \le m (U)$を満たすコンパクト集合$K \subset U$が存在する²。すると、コンパクトの定義により$K$のサブカバー$\left\{ A_{i} \right\}_{1}^l$が存在する。今、この中で最も大きい³ものを$B_{1}$とする。$B_{1}$と互いに素な$A_{i}$の中で最も大きいものを$B_2$とする。そして$B_{1}$、$B_2$と互いに素な$A_{i}$の中で最も大きいものを$B_{3}$とする。このようにして有限コレクション$\left\{ B_{j} \right\}$を構成できる。

$\left\{ B_{j} \right\}$に属せなかった$A_{i}$に対して、$A_{i} \cap B_{j} \ne \varnothing$を満たす$j$が存在する。また、そのような$j$の中で最も小さい$j$に対して⁴、$A_{i}$の半径はせいぜい$B_{j}$である。すなわち、$B_{j}$の半径より大きくなることはない。もしそうであれば、$\left\{ B_{j}\right\}$を構成するときに$A_{i}$が$B_{j}$の名前を取っていたはずである⁵。

今、$B^{\ast}_{j}$を$B_{j}$と中心が同じで半径が3倍の開球とする。すると$A_{i}$は$B_{j}$より半径が大きくなく、$B_{j}$と重なるので必ず$B^{\ast}_{j}$に含まれる。したがって$K \subset \bigcup A_{j} \subset \bigcup B^{\ast}_{j}$である。

$$ \begin{align*} c \lt m (K) & \lt m \left( \bigcup \nolimits_{1}^k B^{\ast}_{j}\right) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} m (B^{\ast}_{j}) \\ &= \sum \limits_{1}^{k} 3^{n} m (B_{j}) \end{align*} $$

$$ \implies \dfrac{c}{3^{n}} \lt \sum \limits_{j=1}^{k} m(B_{j}) $$

■

定義

すべての有界な可測集合$K \subset \mathbb{R}^n$に対して、

$$ \int_{K} |f(x)|dx<\infty $$

を満たす関数$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C}$を（ルベーグ測度に関して）局所可積分^{locally integrable}であるといい、局所可積分な関数の集合を$L^{1}_{\mathrm{loc}}$のように表記する。

$f \in L^1_{\mathrm{loc}}$、$ x\in \mathbb{R}^n$、$r>0$とする。中心が$x$で半径が$r$の開球を$B(r,x)=B_{r}(x)$のように表す。すると$B_{r}(x)$上で$f$の関数値の平均$A_{r}f(x)$を次のように定義する。

$$ A_{r} f(x) := \frac{1}{m \big( B_{r}(x) \big)} \int _{B_{r}(x)}f(y)dy $$

$A_{r}$を平均作用素^{averaging operator}という。