📂測度論

ボレル集合

定義 ¹

$\mathcal{F}$をユークリッド空間$\mathbb{R}$のシグマ体としよう。

$\displaystyle \mathcal{B} : = \bigcap \left\{ \mathcal{F} : \mathcal{I} \subset \mathcal{F} \right\}$を、すべての区間の集合$\mathcal{I}$によって生成されたという。$B \in \mathcal{B}$をボレル集合^{borel set}といい、$\mathcal{B}$をボレルシグマ体と呼ぶ。

---

• $\mathcal{I}$はすべての区間の集合である。

説明

簡単に言えば、すべての区間を持つシグマ代数の中で最も小さいシグマ代数である。あるべきものはすべて備えつつ、役に立たないものを切り捨てて必要なものだけをきっちり残すイメージを思い浮かべればよい。

難解に見える定義とは裏腹に、ボレル集合の用途は多様であり、特に確率論を記述するときに有用である。定義に従えば、ボレル集合は区間同士の和集合や共通部分として現れ、その例として区間、開集合、可算集合などがある。ここでボレルシグマ体の真の意図を読み取れなければならない。ボレル集合は文字どおり「区間」だから重要なのではなく、「開集合」と「閉集合」で作られた集合であるということが重要なのである。

このようなボレル集合を考えることで、我々は位相数学のさまざまな定理を使えるようになる。実際、位相空間だけでも、測度論のさまざまな応用分野から見れば十分に一般的で抽象的である。このような議論を納得できれば、ボレルシグマ体も次のように簡単に受け入れられるようになる：

• ボレルシグマ体は、ただ位相数学を使うために制限を与えたものである。
• ボレルシグマ体はかなり小さいので、考慮すべきことが多くない。
• そのため、たいていの定理では前提としてボレルシグマ体だけを仮定する傾向がある。

集合の集合の集合の共通部分

正直に言って、ボレルシグマ体の定義はいささか気持ち悪い。まず区間が集合なので、$\mathcal{I}$は当然集合の集合である。ところが$\mathcal{I}$を含むシグマ体を集めた集合を考えるので、集合の集合の集合である。そこで共通部分を取ったのがボレルシグマ体である。理解しにくいのが普通だ。

定理

$\mathcal{M}$を$X = \mathbb{R}$の可測集合の集合であるシグマ代数、すなわちすべての区間を含むあるシグマ体としよう。これについて次が成り立つ。

• [1] σ体同士の共通部分はσ体であり、したがって$\mathcal{B}$もまたσ体である。
• [3]: $\mathcal{N} \subseteq \mathcal{B} \subsetneq \mathcal{M}$
• [4]: すべての$ E \in \mathcal{M}$について、次を満たす$B \in \mathcal{B}$が存在する。 $$ E \subset B \\ m(E ) = m(B) \\ m(B \setminus E) = 0 $$

一般化

• 一般的なボレル集合