📂測度論

ルベーグ積分可能

定義 ¹

$E \in \mathcal{M}$とするとき、可測関数 $f$について $$f^{+} := \max \left\{ f , 0 \right\} \\ f^{-} := \max \left\{ -f , 0 \right\}$$ とする。すると $$ f = f^{+} - f^{-} \\ | f | = f^{+} + f^{-} $$ と表すことができる。もし$\displaystyle \int_{E} | f | dm < \infty$、すなわち $$ \int_{E} f^{+} dm < \infty \\ \int_{E} f^{-} dm < \infty $$ であれば、$f$をルベーグ積分可能^{lesbegue Integrable}という。$E$で積分可能な関数の集合を次のように表す。 $$ \mathcal{L}^{1}(E) : = \left\{ f \ \left| \ \int_{E} | f | dm < \infty \right. \right\} $$

基礎的性質

• [2]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E)$なら$\displaystyle \left| \int_{E} f dm \right| \le \int_{E} | f | dm$
• [3]: $f \in \mathcal{L}^{1} (E) $かつ$c \in \mathbb{R}$なら$\displaystyle \int_{E} (c f) dm = c \int_{E} f dm$
• [4]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E) $なら$\displaystyle \int_{E} ( f + g ) dm = \int_{E} f dm + \int_{E} g dm$
• [5]: $f,g \in \mathcal{L}^{1} (E)$かつ$f \le g$なら$\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
• [6]: すべての$E \in \mathcal{M}$について$\displaystyle \int_{E} f dm = \int_{E} g dm$であれば、ほとんど至る所で $f= g$である。

説明

性質1は定義のすぐ下に出てくるので簡単に見えるが、少し経つと混乱しやすいので、口に馴染むように覚えておこう。

一方、[3]~[5]から$\mathcal{L}^{1}(E)$はベクトル空間であることがわかる。